De afgeleide definiëren

Bij f(x) = x² is de helling van de snijlijn van x = 1 naar x = 1 + h precies 2 + h. Laat h naar nul gaan en er blijft alleen 2 over.

Het differentiequotiënt

In de cursus over limieten vond je raaklijnhellingen met snijlijnen door een vast punt P = (a, f(a)) en een bewegend punt Q, waarbij Q naar P schoof. Noem het verschil tussen de x-waarden h, zodat Q = (a + h, f(a + h)). De snijlijnhelling is dan het differentiequotiënt (f(a + h) − f(a))/h. Dat is een gewone breuk, gedefinieerd voor elke h behalve 0. Je meet ermee de gemiddelde veranderingssnelheid van f tussen a en a + h.

OpenStax definieert de afgeleide van f in a als de limiet van dit quotiënt: f′(a) = lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h, mits die limiet bestaat. Je leest dit als ‘f-accent van a’. Meetkundig is het de helling van de raaklijn in (a, f(a)); als veranderingssnelheid is het de momentane verandering van f bij a. Bestaat de limiet, dan is f differentieerbaar in a. De raaklijn zelf is dan y = f(a) + f′(a)(x − a): de punt-hellingvorm met punt (a, f(a)) en helling f′(a).

Een voorbeeld uitwerken

Neem f(x) = x² en a = 1. Dan is f(1 + h) = 1 + 2h + h², dus f(1 + h) − f(1) = 2h + h². Delen door h geeft 2 + h. Daar draait de vereenvoudiging om: de lastige h in de noemer valt weg en in wat overblijft kun je h = 0 invullen. Dus f′(1) = 2. De raaklijn in (1, 1) is y = 1 + 2(x − 1), oftewel y = 2x − 1. Bij h = 0.1 is de snijlijnhelling 2.1, bij h = 0.01 is die 2.01. Dat klopt met de tabel die je zelf maakte in de cursus over limieten.

Bij andere functies werken dezelfde stappen. Voor f(x) = 1/x bij a = 1 is het differentiequotiënt (1/(1 + h) − 1)/h. Maak de teller gelijknamig: (1 − (1 + h))/(1 + h) = −h/(1 + h). Deel door h en je krijgt −1/(1 + h), dat −1 nadert. De helling van 1/x bij x = 1 is dus −1: de kromme daalt daar. Voor een lijn f(x) = mx + b is het quotiënt (m(a + h) + b − ma − b)/h = m voor elke h. Dus f′(a) = m: de afgeleide van een rechte lijn is de helling, zoals je verwacht.

Je kunt een afgeleide op verschillende manieren schrijven. Naast f′(a) is er Leibniz' notatie dy/dx. Die bewaart het beeld van een kleine verandering in y gedeeld door een kleine verandering in x en komt het meest voor in de natuurwetenschappen. De eenheden volgen daaruit. Is s een afstand in meters en t een tijd in seconden, dan is ds/dt in meter per seconde. Een afgeleide heeft altijd de eenheid van de uitvoer per eenheid van de invoer. Dat is een goede controle bij elk antwoord.