De afgeleide als functie

De helling van y = x² is −6 bij x = −3, 0 onderaan en 6 bij x = 3. Eén formule, f′(x) = 2x, geeft ze allemaal.

Een helling voor elke x

In hoofdstuk 1 vond je f′(1) = 2 en f′(3) = 6 voor f(x) = x², elk met een eigen limiet. Het is efficiënter om x als letter te laten staan. De afgeleide functie is f′(x) = lim_h→0 (f(x + h) − f(x))/h, gedefinieerd voor elke x waar de limiet bestaat. Bij x² geldt ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h. Dat nadert 2x. Elke helling vind je nu door één keer in te vullen: f′(−3) = −6, f′(0) = 0, f′(10) = 20. Door te differentiëren maak je een nieuwe functie die de helling van de oorspronkelijke functie aangeeft.

Je kunt f′ schetsen vanuit de grafiek van f, zonder formule. Waar f stijgt zijn de raaklijnhellingen positief, dus ligt f′ boven de x-as. Waar f daalt, ligt f′ eronder. Bij een gladde top of een glad dal is de raaklijn horizontaal en gaat f′ door nul. Bij f(x) = x³ − 3x stijgt de grafiek tot x = −1, daalt tot x = 1 en stijgt daarna weer. f′ is dus achtereenvolgens positief, negatief en positief, met nulpunten −1 en 1. De formule bevestigt dit: f′(x) = 3x² − 3, een dalparabool met nulpunten ±1.

Waar de afgeleide niet bestaat

Een functie kan continu zijn zonder een afgeleide te hebben. Het standaardvoorbeeld is f(x) = |x| in 0. Van rechts is het differentiequotiënt |h|/h = 1; van links −1. De eenzijdige limieten verschillen, dus f′(0) bestaat niet. In de grafiek zie je waarom: er zit een scherpe hoek en er is niet één raaklijn. OpenStax vat samen hoe differentieerbaarheid in een punt kan ontbreken: een hoek, een verticale raaklijn (zoals bij de derdemachtswortel van x in 0, waar de helling onbegrensd groeit), ingewikkelder gedrag zoals bij x sin(1/x) in 0, of een discontinuïteit.

Het laatste geval sluit aan bij de cursus over limieten. Is f differentieerbaar in a, dan is f continu in a. Omgekeerd klopt het niet. |x| bewijst dat: continu in 0, maar niet differentieerbaar. Differentieerbaarheid is dus de sterkere voorwaarde. Een gladde grafiek zonder hoeken, verticale raaklijnen of onderbrekingen is overal in het domein differentieerbaar. Veeltermen, sinus, cosinus en de exponentiële functie gedragen zich zo.

Afgeleiden van afgeleiden

Omdat f′ een functie is, heeft die een eigen afgeleide: de tweede afgeleide f″. Voor x³ − 3x geldt f′(x) = 3x² − 3 en f″(x) = 6x. Met de tweede afgeleide meet je hoe de helling zelf verandert. Is f de positie, dan is f′ de snelheid en f″ de versnelling. Daar gebruik je dit voor in hoofdstuk 5. Je kunt doorgaan naar f‴ en verder, maar de eerste twee komen het vaakst voor.