De machtsregel en basisregels

De afgeleide van x¹⁰ is 10x⁹. Zet de exponent ervoor en verlaag die met één. Geen limiet nodig.

Een patroon in de limieten

Elke afgeleide via de limietdefinitie berekenen kost veel tijd. Gelukkig volgen de antwoorden patronen. Je kent al d/dx x = 1, d/dx x² = 2x en het begin van d/dx x³ = 3x². Volgens de machtsregel geldt voor elk positief geheel getal n: d/dx xⁿ = n xⁿ⁻¹. OpenStax bewijst dit door (x + h)ⁿ uit te werken met het binomium van Newton. De eerste term xⁿ valt weg, de volgende is n xⁿ⁻¹ h. Elke andere term bevat na delen door h nog een h en verdwijnt dus in de limiet.

De regel geldt ook buiten de positieve gehele getallen. Voor negatieve exponenten heeft 1/x = x⁻¹ afgeleide −1·x⁻² = −1/x². Dat klopt met de limiet die je berekende voor 1/x bij x = 1. Voor gebroken exponenten heeft √x = x^1/2 afgeleide (1/2)x^−1/2 = 1/(2√x). Bij x = 4 is de helling van √x dus 1/4. Door wortels en omgekeerden vóór het differentiëren als machten te schrijven, haal je veel uit deze regel.

Constanten, factoren en sommen

Drie andere regels volgen direct uit de limietregels. De afgeleide van een constante is 0, want een horizontale lijn heeft helling 0. Een constante factor blijft staan: d/dx (c·f) = c·f′. Een som of verschil differentieer je term voor term: d/dx (f ± g) = f′ ± g′. Samen met de machtsregel kun je hiermee elke veelterm differentiëren. Voor p(x) = 5x³ − 2x + 7 is de afgeleide 15x² − 2. De constante 7 verdwijnt: een grafiek omhoog of omlaag schuiven verandert geen helling.

Met de regels vind je snel een raaklijn. Bij y = x³ in x = 2 is het punt (2, 8), de helling 3(2)² = 12 en de raaklijn y = 8 + 12(x − 2) = 12x − 16. Bij y = x² − 6x + 1 is de helling 2x − 6 nul in x = 3. De parabool heeft daar dus een horizontale raaklijn, in het laagste punt (3, −8). Zoeken waar een afgeleide nul is, vormt de kern van hoofdstuk 6.

Een antwoord controleren

De regels werken snel. Controleer ze daarom af en toe met de definitie of met getallen. Neem f(x) = x³ bij x = 2, waarvoor de machtsregel f′(2) = 12 geeft. Bij h = 0.01 is het differentiequotiënt (2.01³ − 8)/0.01 = 12.0601, en bij h = 0.001 ongeveer 12.006. De getallen naderen 12 van bovenaf, zoals het hoort. Een fout als 3x³ in plaats van 3x² geeft 24. Eén differentiequotiënt maakt die meteen zichtbaar. In de simulatie hieronder maak je dezelfde vergelijking voor elk punt waar je naartoe sleept.

Bij veeltermen zie je ook goed wat de afgeleide over de vorm vertelt. De afgeleide van een veelterm van graad n heeft graad n − 1. Een derdegraadsfunctie heeft dus een kwadratische hellingsfunctie met hoogstens twee nulpunten en kan hoogstens twee keer van stijgen naar dalen of andersom gaan. Een kwadratische functie heeft een lineaire hellingsfunctie met één nulpunt. Daarom heeft elke parabool precies één keerpunt.