Productregel, quotiëntregel en kettingregel
Om (3x + 1)⁴ uit te werken heb je vijf termen nodig. Met de kettingregel vind je de afgeleide 12(3x + 1)³ in één regel.
De productregel
In het vorige hoofdstuk zag je dat de afgeleide van een product niet het product van de afgeleiden is. De juiste regel is d/dx (f·g) = f′·g + f·g′. Denk aan een rechthoek waarvan de zijden f en g beide groeien. De oppervlakte f·g groeit met twee stroken: één langs zijde g met breedte Δf en één langs zijde f met breedte Δg. Daar komt een klein hoekje bij dat in de limiet verdwijnt. Voor f(x) = x² en g(x) = x³ + 1 geeft de regel 2x(x³ + 1) + x²(3x²) = 5x⁴ + 2x. Eerst uitwerken tot x⁵ + x² geeft hetzelfde antwoord.
De quotiëntregel
Voor een quotiënt geldt d/dx (f/g) = (f′·g − f·g′)/g², waar g niet nul is. Door het minteken doet de volgorde in de teller ertoe. Een ezelsbrug: noemer maal afgeleide teller, min teller maal afgeleide noemer, gedeeld door noemer in het kwadraat. Voor x/(x + 1) geldt f = x, f′ = 1, g = x + 1, g′ = 1. De afgeleide is dus ((x + 1) − x)/(x + 1)² = 1/(x + 1)². Bij x = 1 is dat 1/4. De machtsregel voor negatieve exponenten, die je bij 1/x gebruikte, is een bijzonder geval.
Sinus en cosinus
OpenStax leidt de afgeleide van sinus af uit de limietdefinitie, met twee limieten uit de cursus over limieten: (sin h)/h → 1 en (cos h − 1)/h → 0 als h → 0, met h in radialen. Het resultaat is d/dx sin x = cos x en op dezelfde manier d/dx cos x = −sin x. Het eerste zie je in de simulatie hieronder: sin x heeft helling 1 bij x = 0, helling 0 op de top x = π/2 en helling −1 bij x = π. Dat zijn precies de waarden van cos x. Deze formules gelden alleen in radialen.
De kettingregel
Veel functies ontstaan door één functie in een andere te stoppen: (3x + 1)⁴, sin(2x), √(x² + 9). Met de kettingregel differentieer je ze allemaal: als y = f(g(x)), dan is y′ = f′(g(x))·g′(x). Differentieer de buitenfunctie, laat de binnenfunctie staan en vermenigvuldig met de afgeleide van de binnenfunctie. Bij (3x + 1)⁴ is de buitenfunctie u⁴ met afgeleide 4u³. De binnenfunctie 3x + 1 heeft afgeleide 3. De uitkomst is dus 4(3x + 1)³·3 = 12(3x + 1)³. In Leibniz' notatie: dy/dx = (dy/du)(du/dx). Dat lijkt op breuken wegstrepen en is een betrouwbaar geheugensteuntje.
De afgeleide van de binnenfunctie is de factor die mensen vergeten. De afgeleide van sin(2x) is cos(2x)·2. Bij x = 0 is de helling dus 2, twee keer die van sin x daar. De grafiek is horizontaal samengedrukt met factor 2. Voor √(x² + 9) = (x² + 9)1/2 is de afgeleide (1/2)(x² + 9)−1/2·2x = x/√(x² + 9). Bij x = 4 is dat 4/5.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
- Wat is d/dx [x²(x³ + 1)] bij x = 1?
- Wat is d/dx [x/(x + 1)] bij x = 1?
- Wat is d/dx [(x² + 1)/x] bij x = 1?
- Wat is d/dx (3x + 1)⁴ bij x = 0?
- Wat is d/dx (x² + 1)³ bij x = 1?
- Wat is d/dx sin(2x) bij x = 0?
- Wat is d/dx cos x bij x = π/2?
- Wat is d/dx √(x² + 9) bij x = 4? Als kommagetal.
- Waarmee vermenigvuldig je f′(g(x)) in de kettingregel voor f(g(x))?
- g′(x)
- g(x)
- f′(x)
- niets
- Waarom moet x in radialen zijn voor d/dx sin x = cos x?
- Het bewijs gebruikt (sin h)/h → 1, en dat geldt alleen in radialen
- Graden zijn geen getallen
- Cosinus is niet gedefinieerd in graden
- Dat maakt niet uit
- Product: (fg)′ = f′g + fg′.
- Quotiënt: (f/g)′ = (f′g − fg′)/g².
- In radialen: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x.
- Ketting: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x); vergeet de afgeleide van de binnenfunctie niet.
Bronnen van deze cursus (10)
- OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
- 3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
- 3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
- 3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
- 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
- 3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
- chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
- 4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
- 5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).
Geraadpleegd: 2026-10-17