Afgeleiden als veranderingssnelheden

Een steen die van 64 voet valt heeft hoogte −16t² + 64. Differentieer eenmaal en je krijgt de snelheid −32t. De steen raakt de grond bij t = 2 met een snelheidsgrootte van 64 voet per seconde.

Positie, snelheid en versnelling

Als s(t) de positie is van een voorwerp dat op tijdstip t langs een lijn beweegt, dan is de snelheid v(t) = s′(t): de momentane verandering van de positie. Snelheid heeft een teken: positief bij beweging in de positieve richting, negatief in de andere richting. De snelheidsgrootte is de absolute waarde |v(t)|, zonder richting. De versnelling is a(t) = v′(t) = s″(t), de verandering van de snelheid. OpenStax behandelt dit in paragraaf 3.4 en past het toe op vallende en geworpen voorwerpen.

Neem de steen uit de cursus over limieten: s(t) = −16t² + 64 voet. De snelheid is v(t) = −32t voet per seconde. Bij t = 0.5 is dat −16, de waarde waarop de snijlijnhellingen wezen. De steen raakt de grond als s(t) = 0: 16t² = 64, dus t = 2 seconden. De snelheid is dan v(2) = −64 voet per seconde, met snelheidsgrootte 64 voet per seconde. De versnelling is voortdurend a(t) = −32 voet per seconde kwadraat: de constante zwaartekrachtversnelling in deze eenheden. De mintekens betekenen steeds hetzelfde: omlaag.

Omhoog werpen

In een OpenStax-opgave wordt een steen vanaf de grond omhoog geworpen met 15 meter per seconde. De hoogte is h(t) = 15t − 4.9t² meter. De snelheid is v(t) = 15 − 9.8t. Bij t = 1 stijgt de steen nog met 5.2 meter per seconde. Het stijgen stopt bij v(t) = 0, op t = 15/9.8 ≈ 1.53 seconden. Dat is het hoogste punt: h ≈ 11.48 meter. Daarna is v negatief en valt de steen. De versnelling is steeds −9.8 meter per seconde kwadraat, de waarde van g in deze opgave.

Let op de methode in die laatste berekening: het hoogste punt ligt waar de snelheid, een afgeleide, nul is. Dat is een eerste kennismaking met hoofdstuk 6. Let er ook op dat gemiddelde en momentane veranderingssnelheid verschillende vragen zijn. De gemiddelde snelheid van de steen over de hele val is (0 − 64)/2 = −32 voet per seconde. De momentane snelheid loopt van 0 aan het begin naar −64 aan het einde.

Meer dan beweging

Elke grootheid die met een andere verandert, heeft een betekenisvolle afgeleide. Is P(t) een populatie, dan is P′(t) de groeisnelheid in individuen per jaar. Is C(x) de kostprijs van x producten, dan benadert C′(x), de marginale kostprijs, de kosten van één extra product. Is V het watervolume in een tank, dan is dV/dt het debiet. Steeds vertellen de eenheden hoe je de afgeleide moet lezen, net als voet per seconde bij de steen.