Maxima en minima

Van alle rechthoeken met omtrek 40 heeft het vierkant van 10 bij 10 de grootste oppervlakte. Met de afgeleide vind je dit door een helling nul te zoeken.

Toppen, dalen en kritieke punten

Een functie heeft een lokaal maximum in c als f(c) minstens zo groot is als elke nabijgelegen waarde, en een lokaal minimum als die minstens zo klein is. Dit zijn de toppen en dalen van de grafiek. De stelling van Fermat luidt volgens OpenStax: heeft f een lokaal extremum in c en is f daar differentieerbaar, dan is f′(c) = 0. In de figuur zie je waarom: bij een gladde top is de raaklijn horizontaal. De kandidaten voor lokale extrema zijn dus de kritieke punten: waarden c waar f′(c) = 0 of f′(c) niet bestaat.

Een kritiek punt is slechts een kandidaat. Bij f(x) = x³ is f′(0) = 0, maar de grafiek stijgt aan beide kanten van 0 en heeft daar geen top of dal. Gebruik de eerste-afgeleidentest: verandert f′ bij c van positief naar negatief, dan heeft f daar een lokaal maximum. Van negatief naar positief geeft een lokaal minimum. Zonder tekenwisseling is er geen van beide. Bij f(x) = x³ − 3x geeft f′(x) = 3x² − 3 = 0 de waarden x = −1 en x = 1. De afgeleide doorloopt +, −, +, dus f(−1) = 2 is een lokaal maximum en f(1) = −2 een lokaal minimum.

Hoogste en laagste waarde op een gesloten interval

De extremenstelling garandeert dat een continue functie op een gesloten interval [a, b] daar een absoluut maximum en minimum heeft. Die liggen in kritieke punten binnen het interval of in de eindpunten. Dat geeft een korte aanpak, de gesloten-intervalmethode: vind de kritieke punten in (a, b), bereken f in elk daarvan en in a en b, en kies de grootste en kleinste waarde. Voor x³ − 3x op [0, 3] geldt f(0) = 0, f(1) = −2 en f(3) = 18. Het absolute minimum is −2 en het absolute maximum 18, in een eindpunt waar f′ helemaal niet nul is.

Een optimalisatieprobleem

Een verzonnen voorbeeld in de stijl van OpenStax, paragraaf 4.7. Je hebt 40 meter hek voor een rechthoekige dierenren. Is één zijde x, dan is de andere 20 − x. De oppervlakte is A(x) = x(20 − x) = 20x − x² voor 0 ≤ x ≤ 20. A′(x) = 20 − 2x is nul bij x = 10. De eindpunten geven A(0) = A(20) = 0, en A(10) = 100. De beste ren is dus een vierkant van 10 bij 10 met oppervlakte 100 vierkante meter. De stappen zijn steeds gelijk: schrijf de grootheid als functie van één variabele, bepaal het interval en gebruik de gesloten-intervalmethode.