edubun
Nederlands
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Home›Analyse›Integralen

Oppervlakte benaderen met rechthoeken

Vier rechthoeken onder y = x² van 0 tot 2 geven 1.75 met linkeruiteinden en 3.75 met rechteruiteinden. De werkelijke oppervlakte, 8/3, ligt ertussen.

Vormen met bekende oppervlakte

Voor rechthoeken, driehoeken en trapezia bestaan oppervlakteformules; voor een gebied met een gebogen rand niet. OpenStax begint het integratiehoofdstuk met Archimedes. Hij vulde gebogen gebieden met steeds kleinere vormen met bekende oppervlakte en telde die op. Dat heet nu de uitputtingsmethode. In de analyse doe je hetzelfde met rechthoeken. Verdeel het interval [a, b] in n gelijke stukken van breedte Δx = (b − a)/n. Zet op elk stuk een rechthoek met een hoogte uit de grafiek en tel de oppervlakten op. Meer en smallere rechthoeken sluiten beter aan op de kromme.

Sigmanotatie

Voor veel termen is een korte notatie handig. Met de Griekse hoofdletter sigma schrijf je een som compact: Σi=120 i betekent 1 + 2 + ⋯ + 20. De letter i is de index. Die begint bij de waarde onder de sigma en eindigt bij de waarde erboven. Het eerste voorbeeld van OpenStax is Σi=15 3i = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363. Twee formules besparen later tijd: Σi=1n i = n(n + 1)/2 en Σi=1n i² = n(n + 1)(2n + 1)/6. Dus 1 + 2 + ⋯ + 20 = 20 × 21/2 = 210.

Linker- en rechteruiteinden

Elke rechthoek heeft een hoogte nodig. De eenvoudigste keuze is de functiewaarde aan één uiteinde van het stuk. Met linkeruiteinden krijg je de linkersom Ln = Σ f(xi−1)Δx; met rechteruiteinden de rechtersom Rn = Σ f(xi)Δx. Voor f(x) = x² op [0, 2] met n = 4 is Δx = 0.5. De linkerhoogten zijn f(0), f(0.5), f(1), f(1.5) = 0, 0.25, 1, 2.25. Dus L4 = 0.5 × 3.5 = 1.75. De rechterhoogten zijn 0.25, 1, 2.25, 4, dus R4 = 0.5 × 7.5 = 3.75. Dit zijn de getallen van OpenStax.

L4 voor y = x² op [0, 2]: rechthoeken van breedte 0.5 met linkerhoogten 0, 0.25, 1 en 2.25. Hun som, 1.75, mist de oppervlakte erboven.

Omdat x² stijgt op [0, 2], ligt elke linkerrechthoek onder de kromme en steekt elke rechterrechthoek erbovenuit. L4 is dus een onderschatting en R4 een overschatting. De werkelijke oppervlakte ligt tussen 1.75 en 3.75. Bij een dalende functie wisselen de rollen. Verdubbel n naar 8 en je krijgt L8 = 2.1875 en R8 = 3.1875: een smaller interval. Bij n = 32 ligt het tussen 2.54 en 2.79. De exacte oppervlakte, die je in hoofdstuk 4 in één regel berekent, is 8/3 ≈ 2.667.

AchtergrondArchimedes gebruikte in de derde eeuw v.Chr. zulke redeneringen om de oppervlakte van een paraboolsegment te vinden en π tussen twee veelhoeken te begrenzen. Hij had geen algemeen teken voor een som of limiet. Elk resultaat had een apart meetkundig bewijs. Het idee van smalle stroken optellen moest ongeveer tweeduizend jaar wachten op een notatie die er routinewerk van maakte.
Schrijf de verdeling op voordat je iets optelt. Bij n = 4 op [0, 2] zijn de verdeelpunten x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1, x3 = 1.5 en x4 = 2. Voor linkersommen gebruik je x0 tot en met x3, voor rechtersommen x1 tot en met x4.
Laden

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

y = x² op [0, 2] met n = 4 linkerrechthoeken. Kies ‘Rechts’, druk enkele keren op ‘n verdubbelen’ en bekijk hoe Ln en Rn naderen tot 8/3 ≈ 2.667.
  1. Σi=120 i = ?
  2. Σi=15 3i = ?
  3. Σi=36 2i = ?
  4. Σi=110 i² = ?
  5. [1, 3] verdeeld in n = 8 gelijke stukken. Wat is Δx?
  6. Wat is L4 voor x² op [0, 2]?
  7. Wat is R4 voor x² op [0, 2]?
  8. Wat is L6 voor x²/2 op [0, 3] (OpenStax, figuur 5.5)?
  9. Wat is R6 voor x²/2 op [0, 3]?
  10. f stijgt op [a, b]. De linkersom is:
    • een onderschatting
    • een overschatting
    • exact
    • negatief
Belangrijkste punten
  • Δx = (b − a)/n; n rechthoeken van breedte Δx.
  • Σ-notatie: Σi=1n i = n(n + 1)/2, Σ i² = n(n + 1)(2n + 1)/6.
  • Ln gebruikt linkeruiteinden, Rn rechteruiteinden.
  • Bij een stijgende f geldt Ln < oppervlakte < Rn. Meer rechthoeken verkleinen het verschil.
Bronnen van deze cursus (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Geraadpleegd: 2026-10-17