Riemannsommen en de middelpuntregel

Met slechts vier rechthoeken is de middelpuntssom voor x² op [0, 2] al 2.625: minder dan 0.042 van de exacte waarde 8/3 verwijderd.

Een willekeurig punt in elk stuk

Linker- en rechteruiteinden zijn maar twee mogelijke keuzes. Je kunt in het i-de stuk elk punt x_i* kiezen en f(x_i*) als hoogte gebruiken. De som Σ_i=1ⁿ f(x_i*)Δx heet een riemannsom. Zoals OpenStax vermeldt, is die genoemd naar de 19e-eeuwse wiskundige Bernhard Riemann, die het idee ontwikkelde. Linker- en rechtersommen zijn riemannsommen. Dat geldt ook voor de middelpuntssom M_n, waarbij je de hoogte steeds in het midden van het stuk neemt.

De middelpuntssom is meestal veel nauwkeuriger dan beide eindpuntsommen. Voor x² op [0, 2] met n = 4 zijn de middelpunten 0.25, 0.75, 1.25 en 1.75. Hun kwadraten zijn 0.0625, 0.5625, 1.5625 en 3.0625, samen 5.25. Vermenigvuldigen met Δx = 0.5 geeft M₄ = 2.625. Ter vergelijking: L₄ = 1.75 en R₄ = 3.75 weken ongeveer 0.92 en 1.08 af. In de grafiek zie je waarom. In elk stuk mist de rechthoek aan de ene kant een smal deel onder de kromme, maar voegt aan de andere kant een vergelijkbaar deel toe. Die heffen elkaar bijna op.

De tabel hierboven, afgerond op vier decimalen, toont het patroon voor x² op [0, 2]. Bij elke verdubbeling van n halveren de fouten van de eindpuntsommen ongeveer. De fout van de middelpuntssom wordt ongeveer een kwart: 0.042, 0.010, 0.0026, 0.00065. Alle drie de kolommen naderen hetzelfde getal, 2.6666… De bepaalde integraal in het volgende hoofdstuk wordt gedefinieerd als precies die gemeenschappelijke limiet.

De drie sommen hangen eenvoudig samen. Het gemiddelde van de linker- en rechtersom, (L_n + R_n)/2, is de trapeziumregel. Je vervangt elke rechthoek door een trapezium dat beide uiteinden van de kromme verbindt. Voor x² op [0, 2] met n = 4 krijg je (1.75 + 3.75)/2 = 2.75. Dat is ongeveer 0.083 te hoog: ongeveer twee keer de middelpuntfout, maar aan de andere kant. Dat patroon geldt voor veel gladde krommen: trapezia overschatten een naar boven gebogen kromme, terwijl middelpuntrechthoeken ongeveer half zo sterk onderschatten. Het is het uitgangspunt voor de regel van Simpson in latere cursussen.

Computers gebruiken precies deze sommen. Is er geen handige primitieve van een functie, of ken je die alleen uit meetgegevens, dan telt een programma duizenden middelpuntrechthoeken of trapezia op. In de simulatie hieronder is n maximaal 64, zodat je de rechthoeken nog kunt zien. Het patroon uit de tabel gaat wel door: elke verdubbeling maakt de middelpuntfout ongeveer vier keer zo klein.

Boven- en ondersommen

Wil je zeker een overschatting, kies x_i* dan waar f binnen elk stuk het grootst is. Je krijgt een bovensom. Kies je het kleinste punt, dan krijg je een ondersom: zeker een onderschatting. De echte oppervlakte ligt er altijd tussen. Bij een functie die op het interval alleen stijgt of alleen daalt liggen de grootste en kleinste waarden aan de uiteinden. De boven- en ondersom zijn dan de rechter- en linkersom, in een van beide volgorden. De kromme (x − 1)³ + 4 van OpenStax stijgt op [0, 2], met L₄ = 7.5 en R₄ = 8.5. Beide naderen 8 bij toenemende n.