De bepaalde integraal

De integraal van 4 − x² van 0 tot 3 is 3: de 16/3 boven de as min de 7/3 eronder.

De limiet van de sommen

De bepaalde integraal van f van a tot b is de limiet van de riemannsommen als het aantal stukken onbegrensd groeit: ∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ Σ_i=1ⁿ f(x_i*)Δx, mits de limiet bestaat en niet afhangt van de gekozen punten. Bestaat die, dan is f integreerbaar op [a, b]. OpenStax merkt op dat elke continue functie op een gesloten interval integreerbaar is. Voor de functies in deze cursus bestaat de limiet dus altijd.

In de notatie herken je het beeld. De lange S, ∫, is een uitgerekte letter voor som, ingevoerd door Leibniz. De getallen a en b zijn de integratiegrenzen, f(x) is de integrand en dx staat voor de breedte van een uiterst smalle rechthoek. Het geeft ook aan over welke variabele je optelt. De letter x is een hulpvariabele: ∫₀² x² dx en ∫₀² t² dt zijn hetzelfde getal, 8/3.

Netto-oppervlakte met teken

Ligt f onder de x-as, dan hebben de rechthoeken daar negatieve hoogten en trek je hun oppervlakten af. De integraal geeft de netto-oppervlakte met teken: oppervlakte boven de as min oppervlakte eronder. Voor f(x) = 4 − x² op [0, 3] ligt de kromme boven de as op [0, 2], met oppervlakte 16/3, en eronder op [2, 3], met oppervlakte 7/3. Dus ∫₀³ (4 − x²) dx = 16/3 − 7/3 = 3. Wil je de totale oppervlakte zonder teken, integreer dan |f|. Hier geeft dat 16/3 + 7/3 = 23/3. Welke bedoeld is, hangt af van de vraag: een nettoverandering of een hoeveelheid verf.

Oppervlakte met teken verklaart ook een handige symmetrie. Is f oneven, dus f(−x) = −f(x), zoals bij x³ of sin x, dan is de oppervlakte links van de y-as het spiegelbeeld van die rechts, maar onder de as. Daarom is ∫_−a^a f(x) dx = 0. Bij een even functie zoals x² zijn beide helften gelijk en is de integraal over [−a, a] twee keer die over [0, a]. Eerst symmetrie herkennen kan een hele berekening schelen.

Regels en meetkunde

Uit de definitie volgen enkele eigenschappen. Een integraal over één punt is nul: ∫_a^a f dx = 0. Grenzen verwisselen verandert het teken: ∫_b^a f dx = −∫_a^b f dx. Integralen over aangrenzende intervallen tel je op: ∫_a^b + ∫_b^c = ∫_a^c. Constante factoren mag je buiten de integraal halen. De integraal van een som is de som van de integralen. Bij bekende vormen geeft meetkunde direct het antwoord: ∫₀³ 2x dx is een driehoek met basis 3 en hoogte 6, oppervlakte 9; ∫₀⁴ 3 dx is een rechthoek van 4 bij 3, dus 12; en ∫₋₁¹ √(1 − x²) dx is een halve eenheidsschijf, π/2.