De hoofdstelling van de integraalrekening

Zelfs tweeëndertig middelpuntrechthoeken onder x² van 0 tot 2 wijken nog 0.0007 af. Met de primitieve x³/3 vind je de exacte waarde 8/3 door één aftrekking: 8/3 − 0.

Twee ideeën, één stelling

Tot nu toe leken afgeleiden en integralen aparte onderwerpen: hellingen tegenover oppervlakten. Volgens de hoofdstelling van de integraalrekening zijn het omgekeerde processen. OpenStax beschrijft hoe onder anderen Isaac Newton en Gottfried Wilhelm Leibniz dat verband eind jaren 1600 en begin jaren 1700 ontdekten en onderzochten. De stelling heeft twee delen. Vooral met het tweede kun je integralen eenvoudig berekenen.

Primitieven

Een primitieve van f is een functie F waarvan de afgeleide f is. Omdat d/dx x³/3 = x², is x³/3 een primitieve van x². Dat geldt ook voor x³/3 + 7, of x³/3 min elke constante: constanten hebben afgeleide nul. De algemene primitieve schrijf je als ∫ f(x) dx = F(x) + C, een onbepaalde integraal, met C een willekeurige constante. Lees de differentieerregels achterstevoren en je krijgt een korte tabel: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C voor n ≠ −1, ∫ 1/x dx = ln|x| + C, ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ e^x dx = e^x + C.

Deel 2: integralen berekenen

Is f continu op [a, b] en F een primitieve van f, dan geldt ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Het verschil schrijf je vaak als [F(x)]_a^b. Neem voor ∫₀² x² dx de primitieve F(x) = x³/3: F(2) − F(0) = 8/3 − 0 = 8/3, de waarde die de rechthoeken naderden. De constante C doet er niet toe, want die valt bij aftrekken weg. Andere voorbeelden: ∫₁³ 2x dx = 9 − 1 = 8; ∫₀^π sin x dx = (−cos π) − (−cos 0) = 1 + 1 = 2; ∫₁⁴ √x dx = (2/3)(8 − 1) = 14/3.

Vergelijk het werk. In de simulatie hieronder heb je 64 rechthoeken nodig om met de middelpuntssom tot op enkele tienduizendsten van 8/3 te komen. Precies erop kom je nog steeds niet. Met de stelling vind je de exacte waarde door tweemaal x³/3 uit te rekenen. Eén primitieve vinden in plaats van eindeloos rechthoeken optellen: daarom heet dit de hoofdstelling.

Deel 1: de oppervlaktefunctie

Deel 1 verklaart waarom primitieven opduiken. Definieer een oppervlaktefunctie A(x) = ∫_a^x f(t) dt: de oppervlakte vanaf een vast begin a tot een bewegend einde x. Volgens de stelling is A′(x) = f(x). Stel het je voor: als x een klein stukje h verschuift, groeit de oppervlakte met een smalle strook van breedte h en hoogte ongeveer f(x). Dus (A(x + h) − A(x))/h is ongeveer f(x), en in de limiet precies. De groeisnelheid van de oppervlakte is de hoogte van de kromme aan de bewegende rand. De oppervlaktefunctie is dus een primitieve, en daaruit volgt deel 2.