edubun
Nederlands
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Home›Analyse›Integralen

Nettoverandering en gemiddelde waarde

Een wagentje met snelheid t² − 4t + 3 legt in vier seconden in totaal 4 meter af, maar eindigt slechts 4/3 meter van zijn beginpunt.

Een veranderingssnelheid integreren

Lees de hoofdstelling andersom. Is F een grootheid en F′ de veranderingssnelheid ervan, dan is ∫ab F′(x) dx = F(b) − F(a). OpenStax noemt dit de nettoveranderingsstelling: een veranderingssnelheid integreren geeft de totale verandering. Anders geschreven: F(b) = F(a) + ∫ab F′(x) dx. De nieuwe waarde is de oude plus de opgetelde verandering. Stroomt er 12 minuten lang steeds 5 liter per minuut een tank in, dan is de integraal 5 × 12 = 60 liter. Bij een wisselend debiet tel je met de integraal op.

Verplaatsing en afstand

Bij beweging is de veranderingssnelheid de snelheid. ∫ab v(t) dt is de verplaatsing: de positieverandering, waarbij achteruit bewegen negatief telt. De afgelegde afstand is ∫ab |v(t)| dt: elke meter telt mee. Neem v(t) = t² − 4t + 3 = (t − 1)(t − 3) meter per seconde op [0, 4], met primitieve t³/3 − 2t² + 3t. De verplaatsing is 64/3 − 32 + 12 − 0 = 4/3 meter. Maar tussen t = 1 en t = 3 is v negatief en rijdt het wagentje achteruit.

Splits het interval waar het teken verandert. Van 0 tot 1 rijdt het wagentje 4/3 meter vooruit. Van 1 tot 3 is de integraal −4/3 en rijdt het 4/3 meter achteruit. Van 3 tot 4 rijdt het weer 4/3 meter vooruit. Netto: 4/3 − 4/3 + 4/3 = 4/3. Totale afstand: 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4 meter. De antwoorden verschillen omdat achteruit rijden in het ene geval vooruit rijden opheft en in het andere erbij komt. Gaat de vraag over de eindpositie, dan zoek je de verplaatsing. Gaat die over brandstof, slijtage of een kilometerteller, dan zoek je de afstand.

v(t) = t² − 4t + 3 op [0, 4]. Drie stukken met oppervlakte 4/3: verplaatsing 4/3, afstand 4.

Dezelfde splitsing werkt bij elke veranderingssnelheid die van teken wisselt, zoals geld dat een rekening in- en uitstroomt of water dat een tank in en uit wordt gepompt.

Gemiddelde waarde van een functie

Het gemiddelde van n getallen is hun som gedeeld door n. Bij een functie op [a, b] neemt de integraal de plaats van de som in en de lengte b − a die van n: favg = (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx. Meetkundig is het de hoogte van een rechthoek op [a, b] met dezelfde oppervlakte als het gebied onder de kromme. Voor x² op [0, 2] is het gemiddelde (8/3)/2 = 4/3. Voor sin x op [0, π] is het 2/π ≈ 0.637. Volgens de middelwaardestelling voor integralen in OpenStax 5.3 neemt een continue functie ergens op het interval ook echt haar gemiddelde waarde aan.

Het wagentje is een verzonnen voorbeeld, zo gekozen dat elk stuk op 4/3 uitkomt. Echte snelheidsgegevens staan in een meettabel. Een riemannsom van die metingen neemt dan de plaats van de integraal in.
Laden

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

Snelheid t² − 4t + 3 op [0, 4]. De rode rechthoeken geven achteruit rijden aan. De exacte integraal, 4/3, is de verplaatsing.
  1. Er stroomt 12 min lang water in met 5 L/min. Hoeveel liter in totaal?
  2. v(t) = t² − 4t + 3 op [0, 4]. Wat is de verplaatsing in meters, op 3 decimalen?
  3. Dezelfde beweging: wat is de totale afgelegde afstand in meters?
  4. Wanneer rijdt het wagentje achteruit?
    • 1 < t < 3
    • 0 < t < 1
    • 3 < t < 4
    • nooit
  5. De vallende steen heeft v(t) = −32t. Wat is de verplaatsing van t = 0 tot 2 (ft)?
  6. Wat is de gemiddelde waarde van x² op [0, 2], op 3 decimalen?
  7. Wat is de gemiddelde waarde van sin x op [0, π], op 3 decimalen?
  8. Een tank bevat 100 L. Er stroomt 5 min lang water uit met r(t) = 2t L/min. Hoeveel liter blijft over?
  9. Een kilometerteller meet:
    • ∫ |v(t)| dt, de afstand
    • ∫ v(t) dt, de verplaatsing
    • v(t) aan het einde
    • de gemiddelde snelheid
  10. favg op [a, b] is gelijk aan:
    • (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx
    • (f(a) + f(b))/2
    • ∫ab f(x) dx
    • f((a + b)/2)
Belangrijkste punten
  • Nettoveranderingsstelling: ∫ab F′(x) dx = F(b) − F(a).
  • Bij verplaatsing ∫ v dt kunnen delen elkaar opheffen; bij afstand ∫ |v| dt niet.
  • Splits bij tekenwisselingen om de afstand te vinden.
  • Gemiddelde waarde: (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx.
Bronnen van deze cursus (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Geraadpleegd: 2026-10-17