Hoekensom van driehoeken en veelhoeken

Teken een driehoek, zo lang en smal als je wilt, en toch zijn de drie hoeken samen 180°. De hoeken van een zevenhoek zijn samen 900°.

Waarom een driehoek 180° geeft

OpenStax noemt het een van de belangrijkste eigenschappen van driehoeken: de binnenhoeken zijn samen 180°. Je kunt het met papier testen. Knip een driehoek uit, scheur de drie hoeken eraf en leg ze naast elkaar met de punten tegen elkaar. Ze vullen precies een rechte lijn. Het lab hieronder doet hetzelfde met de knop Leg ze op een rij, voor elke driehoek die je in vorm sleept.

Het bewijs gebruikt het vorige hoofdstuk. Teken door het bovenste hoekpunt C een lijn evenwijdig aan de onderste zijde AB. De twee zijden vanuit C werken als snijlijnen. De hoek tussen de nieuwe lijn en zijde CA is een Z-hoek bij hoek A, dus hij is gelijk aan A. Aan de andere kant gebeurt hetzelfde met B. Nu liggen de drie hoeken bij C, namelijk A, dan C zelf, dan B, langs de nieuwe rechte lijn. Een gestrekte hoek is 180°, dus A + B + C = 180°.

Wat volgt uit 180°

Een driehoek kan hoogstens één rechte of één stompe hoek hebben, want twee daarvan zouden samen al 180° of meer zijn. In een rechthoekige driehoek zijn de twee scherpe hoeken samen 90°, dus ze zijn complementair. In een gelijkzijdige driehoek zijn alle drie de hoeken gelijk, dus elke hoek is 180 ÷ 3 = 60°. In een gelijkbenige driehoek zijn de twee basishoeken gelijk. Ook deze ontdekking schrijft OpenStax toe aan Thales. Is de tophoek van een gelijkbenige driehoek 40°, dan is elke basishoek (180 − 40) ÷ 2 = 70°.

Een buitenhoek ontstaat als je een zijde voorbij een hoekpunt verlengt. Hij vormt nevenhoeken met de binnenhoek daar, dus hij is gelijk aan 180° min die hoek. Omdat de drie binnenhoeken samen 180° zijn, is hij ook gelijk aan de som van de twee niet-aanliggende hoeken. Met A = 50° en B = 60° is de buitenhoek bij C gelijk aan 110°, zonder dat je C ooit hoeft uit te rekenen (dat is 70°).

Veelhoeken

Elke veelhoek kun je in driehoeken verdelen door diagonalen vanuit één hoekpunt te tekenen. Een veelhoek met n zijden valt uiteen in n − 2 driehoeken, en hun hoeken vormen samen de hoeken van de veelhoek. Dat geeft de formule die OpenStax noemt: de binnenhoeken van een veelhoek met n zijden zijn samen S = (n − 2) × 180°. Een vierhoek geeft 360°, een vijfhoek 540°, een zeshoek 720°, een zevenhoek 900°. In een regelmatige veelhoek zijn alle hoeken gelijk, dus elke hoek is S ÷ n: 108° voor een regelmatige vijfhoek, 120° voor een regelmatige zeshoek zoals een cel van een honingraat.

Je kunt de hoekensom van een veelhoek ook op een tweede manier zien. Loop helemaal langs de rand van een veelhoek. Bij elk hoekpunt draai je over de buitenhoek, en als je weer bij het begin bent, heb je precies één volle draai gemaakt. De buitenhoeken van elke convexe veelhoek zijn dus samen 360°, hoeveel zijden hij ook heeft. Bij een regelmatige zeshoek is elke buitenhoek 360 ÷ 6 = 60° en elke binnenhoek 180 − 60 = 120°, en dat klopt met de formule.