Somme des angles d'un triangle et des polygones

Dessine n'importe quel triangle, aussi long et fin que tu veux : ses trois angles font toujours 180° au total. Les angles d'un heptagone font 900°.

Pourquoi un triangle fait 180°

OpenStax la présente comme l'une des propriétés les plus importantes des triangles : la somme des angles intérieurs vaut 180°. Tu peux le tester avec du papier. Découpe un triangle, déchire ses trois coins et pose-les côte à côte, pointes réunies. Ils remplissent exactement un angle plat. Le labo ci-dessous fait la même chose avec le bouton Aligner, pour n'importe quel triangle que tu déformes.

La démonstration utilise l'unité précédente. Par le sommet du haut C, trace la parallèle au côté du bas AB. Les deux côtés issus de C jouent le rôle de sécantes. L'angle entre la nouvelle droite et le côté CA est alterne-interne avec l'angle A, donc il lui est égal ; de l'autre côté, il se passe la même chose avec B. Les trois angles en C, c'est-à-dire A, puis C lui-même, puis B, sont alors alignés le long de la nouvelle droite. Un angle plat mesure 180°, donc A + B + C = 180°.

Ce qui découle des 180°

Un triangle a au plus un angle droit ou un angle obtus, car deux de ces angles atteindraient déjà 180° ou plus. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont une somme de 90°, donc ils sont complémentaires. Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux, donc chacun mesure 180 ÷ 3 = 60°. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux ; OpenStax attribue aussi cette découverte à Thalès. Si l'angle au sommet principal d'un triangle isocèle mesure 40°, chaque angle à la base mesure (180 − 40) ÷ 2 = 70°.

Un angle extérieur s'obtient en prolongeant un côté au-delà d'un sommet. Il est adjacent supplémentaire de l'angle intérieur en ce sommet, donc il vaut 180° moins cet angle, et comme les trois angles intérieurs font 180°, il est aussi égal à la somme des deux autres angles. Avec A = 50° et B = 60°, l'angle extérieur en C mesure 110°, sans jamais calculer C (qui mesure 70°).

Les polygones

Tout polygone peut être découpé en triangles en traçant les diagonales issues d'un sommet. Un polygone à n côtés se découpe en n − 2 triangles, et leurs angles réunis forment les angles du polygone. On obtient la formule donnée par OpenStax : la somme des angles intérieurs d'un polygone à n côtés vaut S = (n − 2) × 180°. Un quadrilatère donne 360°, un pentagone 540°, un hexagone 720°, un heptagone 900°. Dans un polygone régulier, tous les angles sont égaux, donc chacun vaut S ÷ n : 108° pour un pentagone régulier, 120° pour un hexagone régulier comme une alvéole d'abeille.

Il existe une deuxième façon de voir la somme des angles d'un polygone. Fais le tour complet de son bord. À chaque sommet, tu tournes de son angle extérieur, et quand tu reviens au point de départ, tu as fait exactement un tour complet. Donc la somme des angles extérieurs de tout polygone convexe vaut 360°, quel que soit le nombre de côtés. Pour un hexagone régulier, chaque angle extérieur mesure 360 ÷ 6 = 60°, et chaque angle intérieur 180 − 60 = 120°, ce qui confirme la formule.