Angles complémentaires, supplémentaires et opposés par le sommet

Croise deux baguettes droites : tu obtiens quatre angles, mais seulement deux tailles différentes. Les angles opposés sont toujours égaux.

Angles adjacents

Deux angles sont adjacents quand ils ont le même sommet et un côté commun et qu'ils ne se chevauchent pas, comme deux parts de tarte coupées l'une à côté de l'autre. Les angles adjacents sont le point de départ du calcul sur les angles, car leurs mesures s'additionnent simplement : si ∠ABD = 30° et ∠DBC = 25° sont côte à côte, l'angle entier ∠ABC mesure 55°.

Des paires dont la somme vaut 90° ou 180°

Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures vaut 90°, et supplémentaires si elle vaut 180°. Ils n'ont pas besoin d'être côte à côte ; ces mots décrivent la somme, pas la position. Chaque angle d'une paire complémentaire est appelé le complémentaire de l'autre : le complémentaire de 35° est 90 − 35 = 55°. De même, le supplémentaire de 120° est 180 − 120 = 60°.

Quand deux angles adjacents remplissent ensemble un angle plat, on les appelle angles adjacents supplémentaires, et ils sont toujours supplémentaires. OpenStax s'en sert pour trouver un angle inconnu : si un angle sur une droite mesure 35°, l'angle voisin mesure forcément 180 − 35 = 145°. Seuls les angles aigus ont un complémentaire, car un angle de 90° ou plus ne laisse rien à ajouter. Tout angle inférieur à 180° a un supplémentaire.

Angles opposés par le sommet

Là où deux droites se coupent, quatre angles se rejoignent au même point. Appelle-les a, b, c et d en tournant. Les angles face à face, a et c, sont opposés par le sommet, tout comme b et d. Ils sont toujours égaux, et la raison tient en deux droites. Les angles a et b sont alignés le long d'une droite, donc a + b = 180°. Les angles b et c sont alignés le long de l'autre droite, donc b + c = 180°. Les deux sommes valent 180° et contiennent toutes deux b, donc a est forcément égal à c.

Trouver une inconnue

Les règles sur les paires se transforment en équations. Supposons que deux angles complémentaires mesurent 2x + 10 et x + 20 degrés. Leur somme vaut 90, donc 3x + 30 = 90 et x = 20. Les angles mesurent 50° et 40°, dont la somme fait bien 90°. Remplace toujours x par sa valeur et vérifie la somme ; cela repère tout de suite les erreurs de signe.

Ces paires reviennent dans toutes les unités suivantes. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont toujours une somme de 90°, donc ils sont complémentaires, et c'est ce qui fonde les relations entre sinus et cosinus d'angles complémentaires en trigonométrie. Remarque aussi que le supplémentaire d'un angle aigu est toujours obtus et que le supplémentaire d'un angle obtus est toujours aigu, tandis qu'un angle droit est son propre supplémentaire.