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ホーム›図形と作図›角

余角、補角、対頂角

まっすぐな棒を二本交差させると角が四つできますが、大きさは二種類だけです。向かい合う角はいつも等しくなります。

隣り合う角

二つの角が頂点と一辺を共有し、重なっていないとき、その二つの角は隣り合っている（隣接している）といいます。となり合わせに切ったパイ二切れのようなものです。隣り合う角の大きさはそのままたせるので、角の計算はここから始まります。∠ABD = 30°と∠DBC = 25°が並んでいれば、全体の∠ABCは55°です。

和が90°になる組と180°になる組

二つの角の和が90°のとき、その二つの角は互いに余角であるといい、和が180°のときは互いに補角であるといいます。二つの角がとなり合っている必要はありません。これらの言葉が表すのは和であって、位置ではありません。35°の余角は90 − 35 = 55°です。同じように、120°の補角は180 − 120 = 60°です。

左：直角を35°と55°に分けたもの。互いに余角の組です。右：直線を120°と60°に分けたもの。互いに補角の組です。

隣り合う二つの角が合わさって一直線になるとき、その二つの角は直線上で隣接する補角の組になり、いつも互いに補角です。OpenStaxではこれを使って、わからない角を求めています。直線上の一つの角が35°なら、そのとなりの角は180 − 35 = 145°のはずです。余角があるのは鋭角だけです。90°以上の角には、たすものが残らないからです。180°より小さい角には、どれにも補角があります。

対頂角

二本の直線が交わると、その点に四つの角が集まります。順にa、b、c、dとしましょう。向かい合う角aとcは対頂角で、bとdも対頂角です。対頂角はいつも等しく、そのわけは二本の直線からわかります。aとbは一本の直線にそって並ぶので、a + b = 180°です。bとcはもう一本の直線にそって並ぶので、b + c = 180°です。どちらの和も180°で、どちらにもbが入っているので、aとcは等しくなるはずです。

aとcは対頂角で、bとdも対頂角です。となり合う二つの角は、隣接する補角の組になります。
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交わる二本の直線。オレンジの直線をドラッグして回しましょう。青の組はいつも等しく、緑の組もいつも等しく、青と緑の和はいつも180°です。
背景OpenStax Contemporary Mathematicsによると、紀元前六世紀に生きたミレトスのタレスは、交わる二本の直線がつくる角、つまり対頂角が等しいことを初めて発見したとされています。ただしMacTutorアーカイブは、タレス自身の書いたものは何も残っておらず、これらの発見ははるか後のギリシャの著述家を通して伝わったものだと注意しています。

わからない角を求める

角の組のきまりは方程式になります。互いに余角である二つの角が2x + 10度とx + 20度だとしましょう。和は90なので3x + 30 = 90で、x = 20です。二つの角は50°と40°で、たしかに和は90°です。xの値をもとの式に入れて和を確かめましょう。符号のミスがすぐに見つかります。

これらの角の組は、このあとのどの単元にも出てきます。直角三角形では、小さいほうの二つの角の和はいつも90°なので互いに余角であり、三角比の余角の公式はこのことにもとづいています。また、鋭角の補角はいつも鈍角、鈍角の補角はいつも鋭角で、直角の補角は直角自身であることにも注目しましょう。

  1. 35°の余角は？
  2. 35°の補角は？
  3. 98°の補角は？
  4. 二本の直線が交わっています。一つの角は40°です。その対頂角は何度ですか？
  5. 同じ直線で、40°の角のとなりの角は何度ですか？
  6. 120°の角に余角はありますか？
    • ない
    • ある、−30°
    • ある、30°
    • ある、60°
  7. 互いに余角である二つの角が2x + 10度とx + 20度です。xはいくつですか？
  8. 直線上で隣接する補角の組が3x度とx + 40度です。大きいほうの角は何度ですか？
  9. 対頂角が5x − 12度と3x + 18度です。xはいくつですか？
  10. 隣り合う30°と25°の角があります。全体の角は：
    • 55°
    • 5°
    • 150°
    • 125°
  11. ある角は、その余角の二倍です。この角は何度ですか？
ポイント
  • 隣り合う角：頂点と辺を共有し、重ならない。大きさはたせる。
  • 余角：和が90°。補角：和が180°。
  • 直線上で隣接する補角の組：一直線をうめる隣り合う角。いつも互いに補角。
  • 対頂角（交わる点で向かい合う角）は等しい。
このコースの出典 (5)
  • OpenStax, Contemporary Mathematics : 10.2 Angles (angle = two rays with a common endpoint, the vertex; naming ∠ABC and m∡; protractor use, centre mark on the vertex; acute < 90°, right 90°, obtuse between 90° and 180°, straight 180°; adjacent, supplementary (sum 180°), complementary (sum 90°), vertical angles equal; a transversal of two parallel lines makes eight angles numbered 1 to 8, alternate interior 3 and 6, 4 and 5, alternate exterior 2 and 7, 1 and 8, corresponding 1 and 5, 3 and 7, 2 and 6, 4 and 8: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-2-angles)
  • 10.3 Triangles (interior angles add to 180°; Thales is credited with the equal base angles of an isosceles triangle and with vertical angles being equal: .../pages/10-3-triangles)
  • 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (interior angle sum S = (n − 2)180°, heptagon 900°: .../pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Precalculus 2e 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a full rotation; radian: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "The trigonometric functions" (Ptolemy divides the circle into 360° showing Babylonian influence; 30′ is half of 1°: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/)

確認日: 2026-10-17