平行線と交わる直線

二本の平行線に一本の直線が交わると八つの角ができますが、その大きさは二種類だけで、その二つの和はいつも180°です。

一本の直線がつくる八つの角

線路のレール、ノートの罫線、定規のふちは平行です。並んで走り、決して交わりません。二本の直線に交わる直線を、英語ではtransversal（横断線）といいます。それぞれの直線と交わるところで四つの角ができるので、全部で八つの角ができます。OpenStaxでは、上の交点の角を1〜4、下の交点の角を5〜8と番号をつけ、二本の直線の間にある角3、4、5、6を内角と呼んでいます。角1、2、7、8は外側にあるので外角です。

角の組の名前

二本の直線が平行なとき、交わる直線は両方と同じ角度で交わるので、下の交点の図は上の交点の図の写しになります。この一つの事実から、下のきまりがすべて出てきます。同位角は二つの交点で同じ位置にある角で、1と5、4と8などがそうで、等しくなります。錯角は二本の直線の間で、交わる直線の反対側にある角で、3と6、4と5がそうで、等しくなります。外側の錯角は二本の直線の外側で反対側にある角で、2と7、1と8がそうで、これも等しくなります。

もう一組、役に立つ組があります。同側内角は、3と5のように、二本の直線の間で交わる直線の同じ側にある角です。これは等しくはならず、和が180°になります。わけはこうです。角5は角1と等しく（同位角）、角1と角3は直線上で隣接する補角の組だからです。

一つの角から八つすべてを求める

大きさは二種類しかないので、一つの角がわかれば八つすべてがわかります。角2が62°だとしましょう。その対頂角の角3も62°で、同位角の角6と角7も62°です。ほかの角はすべてその補角で、180 − 62 = 118°です。実際には、角の組の名前を使う必要はほとんどありません。その角が鋭角に見えるか鈍角に見えるかを決めれば、与えられた角か、180°からその角をひいた角のどちらかです。

このきまりは逆向きにも成り立ち、平行線かどうかを確かめる実用的な方法になります。二本の直線と交わる直線がつくる同位角が等しければ、二本の直線は平行です。角がたとえ一度でも違えば、ラボの「傾き」スライダーで見られるように、二本の直線はどこかで交わります。

覚えるのに役立つ文字の形

図にかくれた文字の形を使う覚え方がよく知られています。錯角と、交わる直線をはさむ二本の平行線をなぞるとZ（または裏返しのZ）の形になり、等しい角はZの内側の二つのかどにあります。同位角はFの腕の下に、同側内角はCやUの内側にあります。文字はあくまで覚えるための手助けで、本当の理由は、交わる直線が二本の平行線と同じ角度で交わることです。

架空の道路地図で、このしくみが使われるようすを見てみましょう。二本の平行な大通りに、ななめの道路が70°で交わっています。ななめの道路からどちらの大通りに曲がる運転手も、一方のかどでは70°の同じ急な曲がり方を、もう一方のかどでは110°の同じゆるやかな曲がり方をします。二つの交点が互いの写しになっているからです。