Параллельные прямые и секущая

Прямая, пересекающая две параллельные прямые, образует восемь углов, но среди них встречаются только две величины, и в сумме они всегда дают 180°.

Восемь углов от одной секущей

Рельсы, линейки в тетради и края линейки параллельны: они идут рядом и никогда не встречаются. Прямая, пересекающая две другие прямые, называется секущей. Там, где она пересекает каждую прямую, образуются четыре угла, так что всего их восемь. OpenStax нумерует их от 1 до 4 у верхнего пересечения и от 5 до 8 у нижнего и называет углы 3, 4, 5 и 6 внутренними, потому что они лежат между двумя прямыми. Углы 1, 2, 7 и 8 лежат снаружи и называются внешними.

Названия пар

Когда две прямые параллельны, секущая пересекает обе под одним и тем же углом, поэтому картинка у нижнего пересечения является копией картинки у верхнего. Из этого одного факта следуют все правила ниже. Соответственные углы занимают одинаковое положение у двух пересечений, например 1 и 5 или 4 и 8, и они равны. Накрест лежащие внутренние углы лежат между прямыми по разные стороны от секущей, 3 и 6 или 4 и 5, и они равны. Накрест лежащие внешние углы лежат снаружи прямых по разные стороны, 2 и 7 или 1 и 8, и они тоже равны.

Полезна ещё одна пара. Односторонние внутренние углы, например 3 и 5, лежат между прямыми по одну сторону от секущей. Они не равны, в сумме они дают 180°. Видно почему: угол 5 равен углу 1 (соответственные), а углы 1 и 3 смежные.

Как найти все восемь по одному

Раз встречаются только две величины, знание одного угла даёт все восемь. Допустим, угол 2 равен 62°. Вертикальный ему угол 3 равен 62°, и соответственные углы 6 и 7 тоже равны 62°. Каждый из остальных углов дополняет его до развёрнутого: 180 − 62 = 118°. На практике названия пар почти не нужны: реши, выглядит угол острым или тупым, и он равен либо данному углу, либо 180° минус он.

Правила работают и в обратную сторону, и это даёт практический признак параллельности. Если секущая образует с двумя прямыми равные соответственные углы, прямые параллельны. Если углы отличаются хотя бы на один градус, прямые где-нибудь встретятся, как показывает ползунок наклона в лаборатории.

Буквы, которые помогают

Распространённая подсказка использует буквы, спрятанные в рисунке. Обведи накрест лежащие внутренние углы, и две параллельные прямые с секущей между ними образуют букву Z (или зеркальную Z): равные углы сидят в двух внутренних уголках Z. Соответственные углы сидят под перекладинами буквы F, а односторонние внутренние внутри буквы C или U. Буквы служат только подсказкой, а причина всё та же: секущая пересекает обе параллельные прямые под одним углом.

Придуманная карта улиц показывает, как это работает. Два параллельных проспекта пересекает диагональная дорога под углом 70°. Водитель, сворачивающий с дороги на любой из проспектов, на одном углу делает одинаковый крутой поворот на 70°, а на другом одинаковый плавный поворот на 110°, потому что два перекрёстка являются копиями друг друга.