Сумма углов треугольника и многоугольников

Нарисуй любой треугольник, хоть длинный и узкий, и его три угла всё равно дадут в сумме 180°. Углы семиугольника дают в сумме 900°.

Почему у треугольника получается 180°

OpenStax называет это одним из важнейших свойств треугольников: внутренние углы в сумме дают 180°. Это можно проверить на бумаге. Вырежи треугольник, оторви три его уголка и положи их рядом вершинами вместе. Они точно заполнят прямую. Лаборатория ниже делает то же самое кнопкой «Сложить вместе» для любого треугольника, который ты перетащишь.

Доказательство опирается на прошлый урок. Через верхнюю вершину C проведи прямую, параллельную нижней стороне AB. Две стороны из C служат секущими. Угол между новой прямой и стороной CA накрест лежит с углом A, поэтому он равен A, с другой стороны то же происходит с B. Теперь три угла при C, то есть A, затем сам C, затем B, лежат вдоль новой прямой. Развёрнутый угол равен 180°, поэтому A + B + C = 180°.

Что следует из 180°

У треугольника может быть не больше одного прямого или одного тупого угла, потому что два таких угла уже дали бы 180° или больше. В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают 90°, то есть они дополнительные. В равностороннем треугольнике все три угла равны, поэтому каждый равен 180 ÷ 3 = 60°. В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны, и OpenStax приписывает Фалесу и это открытие. Если угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°, каждый угол при основании равен (180 − 40) ÷ 2 = 70°.

Внешний угол образуется, если продлить одну сторону за вершину. Он смежный с внутренним углом при этой вершине, поэтому равен 180° минус этот угол, а так как три внутренних угла в сумме дают 180°, он равен ещё и сумме двух других, не смежных с ним углов. При A = 50° и B = 60° внешний угол при C равен 110°, и сам C (а он равен 70°) искать не нужно.

Многоугольники

Любой многоугольник можно разрезать на треугольники диагоналями из одной вершины. Многоугольник с n сторонами делится на n − 2 треугольника, и их углы вместе составляют углы многоугольника. Отсюда формула, которую приводит OpenStax: внутренние углы n-угольника в сумме дают S = (n − 2) × 180°. Четырёхугольник даёт 360°, пятиугольник 540°, шестиугольник 720°, семиугольник 900°. В правильном многоугольнике все углы равны, поэтому каждый равен S ÷ n: 108° у правильного пятиугольника, 120° у правильного шестиугольника, как ячейка пчелиных сот.

Есть и второй способ увидеть сумму углов многоугольника. Обойди многоугольник по всему краю. В каждой вершине ты поворачиваешь на её внешний угол, а когда вернёшься в начало, сделаешь ровно один полный оборот. Поэтому внешние углы любого выпуклого многоугольника в сумме дают 360°, сколько бы ни было сторон. У правильного шестиугольника каждый внешний угол равен 360 ÷ 6 = 60°, а каждый внутренний 180 − 60 = 120°, что совпадает с формулой.