Somma degli angoli di triangoli e poligoni

Disegna un triangolo qualsiasi, lungo e sottile quanto vuoi, e i suoi tre angoli sommano sempre 180°. Gli angoli di un ettagono sommano 900°.

Perché un triangolo fa 180°

OpenStax la definisce una delle proprietà più importanti dei triangoli: gli angoli interni sommano 180°. Puoi verificarlo con la carta. Ritaglia un triangolo, strappane i tre angoli e mettili uno accanto all'altro con le punte unite. Riempiono esattamente una linea retta. Il laboratorio qui sotto fa lo stesso con il pulsante Mettili in fila, per qualsiasi triangolo tu modelli trascinandolo.

La dimostrazione usa l'unità precedente. Dal vertice in alto C, traccia una retta parallela al lato di base AB. I due lati che partono da C fanno da trasversali. L'angolo tra la nuova retta e il lato CA è alterno interno all'angolo A, quindi è uguale ad A; dall'altra parte succede lo stesso con B. Ora i tre angoli in C, cioè A, poi C stesso, poi B, stanno lungo la nuova retta. Un angolo piatto misura 180°, quindi A + B + C = 180°.

Che cosa deriva dai 180°

Un triangolo può avere al massimo un angolo retto o un angolo ottuso, perché due di essi arriverebbero già a 180° o più. In un triangolo rettangolo i due angoli acuti sommano 90°, quindi sono complementari. In un triangolo equilatero i tre angoli sono uguali, quindi ognuno misura 180 ÷ 3 = 60°. In un triangolo isoscele i due angoli alla base sono uguali; OpenStax attribuisce anche questa scoperta a Talete. Se l'angolo al vertice di un triangolo isoscele è 40°, ciascun angolo alla base misura (180 − 40) ÷ 2 = 70°.

Un angolo esterno si forma prolungando un lato oltre un vertice. È adiacente all'angolo interno di quel vertice, quindi è uguale a 180° meno quell'angolo, e poiché i tre angoli interni sommano 180°, è uguale anche alla somma dei due angoli interni non adiacenti. Con A = 50° e B = 60°, l'angolo esterno in C è 110°, senza dover trovare C (che misura 70°).

Poligoni

Ogni poligono si può dividere in triangoli tracciando le diagonali da un vertice. Un poligono con n lati si divide in n − 2 triangoli, e i loro angoli insieme formano gli angoli del poligono. Da qui la formula che riporta OpenStax: gli angoli interni di un poligono con n lati sommano S = (n − 2) × 180°. Un quadrilatero dà 360°, un pentagono 540°, un esagono 720°, un ettagono 900°. In un poligono regolare tutti gli angoli sono uguali, quindi ognuno misura S ÷ n: 108° per un pentagono regolare, 120° per un esagono regolare come una cella di un favo.

C'è un secondo modo di vedere la somma degli angoli di un poligono. Percorri tutto il contorno di un poligono. A ogni vertice giri del suo angolo esterno, e quando torni al punto di partenza hai compiuto esattamente un giro completo. Quindi gli angoli esterni di qualsiasi poligono convesso sommano 360°, qualunque sia il numero dei lati. Per un esagono regolare ogni angolo esterno misura 360 ÷ 6 = 60°, e ogni angolo interno 180 − 60 = 120°, in accordo con la formula.