Suma de los ángulos de un triángulo y de los polígonos

Dibuja cualquier triángulo, tan largo y estrecho como quieras, y sus tres ángulos seguirán sumando 180°. Los ángulos de un heptágono suman 900°.

Por qué un triángulo suma 180°

OpenStax la llama una de las propiedades más importantes de los triángulos: los ángulos interiores suman 180°. Puedes comprobarlo con papel. Recorta un triángulo, arranca sus tres esquinas y colócalas una junto a otra con las puntas juntas. Llenan exactamente una línea recta. El laboratorio de abajo hace lo mismo con el botón Alinear, para cualquier triángulo que formes arrastrando.

La demostración usa la unidad anterior. Por el vértice superior C, traza una recta paralela al lado de abajo, AB. Los dos lados que salen de C hacen de secantes. El ángulo entre la nueva recta y el lado CA es alterno interno del ángulo A, así que es igual a A; al otro lado pasa lo mismo con B. Ahora los tres ángulos en C, es decir, A, luego el propio C y luego B, quedan sobre la nueva línea recta. Un ángulo llano mide 180°, así que A + B + C = 180°.

Lo que se deduce de los 180°

Un triángulo puede tener como mucho un ángulo recto o un ángulo obtuso, porque dos de ellos ya llegarían a 180° o más. En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos suman 90°, así que son complementarios. En un triángulo equilátero los tres ángulos son iguales, así que cada uno mide 180 ÷ 3 = 60°. En un triángulo isósceles los dos ángulos de la base son iguales; OpenStax también atribuye este descubrimiento a Tales. Si el ángulo superior de un triángulo isósceles mide 40°, cada ángulo de la base mide (180 − 40) ÷ 2 = 70°.

Un ángulo exterior se forma al prolongar un lado más allá de un vértice. Forma un par lineal con el ángulo interior de ese vértice, así que mide 180° menos ese ángulo, y como los tres ángulos interiores suman 180°, también es igual a la suma de los dos ángulos lejanos. Con A = 50° y B = 60°, el ángulo exterior en C mide 110°, sin necesidad de hallar C (que mide 70°).

Polígonos

Cualquier polígono se puede dividir en triángulos trazando diagonales desde un vértice. Un polígono de n lados se divide en n − 2 triángulos, y sus ángulos juntos forman los ángulos del polígono. Así sale la fórmula que da OpenStax: los ángulos interiores de un polígono de n lados suman S = (n − 2) × 180°. Un cuadrilátero da 360°, un pentágono 540°, un hexágono 720° y un heptágono 900°. En un polígono regular todos los ángulos son iguales, así que cada uno mide S ÷ n: 108° en un pentágono regular y 120° en un hexágono regular como una celda de un panal.

Hay una segunda forma de ver la suma de los ángulos de un polígono. Recorre todo el borde de un polígono. En cada vértice giras su ángulo exterior, y cuando vuelves al punto de partida has dado exactamente una vuelta completa. Por eso los ángulos exteriores de cualquier polígono convexo suman 360°, tenga los lados que tenga. En un hexágono regular cada ángulo exterior mide 360 ÷ 6 = 60°, y cada ángulo interior 180 − 60 = 120°, lo que coincide con la fórmula.