Soma dos ângulos do triângulo e dos polígonos

Desenhe qualquer triângulo, comprido e fino como quiser, e seus três ângulos continuam somando 180°. Os ângulos de um heptágono somam 900°.

Por que o triângulo dá 180°

A OpenStax chama isso de uma das propriedades mais importantes dos triângulos: os ângulos internos somam 180°. Dá para testar com papel. Recorte um triângulo, rasgue os três cantos e coloque-os lado a lado com as pontas juntas. Eles preenchem exatamente uma reta. O laboratório abaixo faz o mesmo com o botão Alinhar, para qualquer triângulo que você arraste.

A demonstração usa a unidade anterior. Pelo vértice de cima, C, trace uma reta paralela ao lado de baixo, AB. Os dois lados que saem de C funcionam como transversais. O ângulo entre a nova reta e o lado CA é alterno interno do ângulo A, então é igual a A; do outro lado acontece o mesmo com B. Agora os três ângulos em C, ou seja, A, depois o próprio C, depois B, ficam lado a lado sobre a nova reta. Um ângulo raso mede 180°, então A + B + C = 180°.

O que decorre dos 180°

Um triângulo pode ter no máximo um ângulo reto ou um ângulo obtuso, porque dois deles já chegariam a 180° ou mais. Num triângulo retângulo os dois ângulos agudos somam 90°, então são complementares. Num triângulo equilátero os três ângulos são iguais, então cada um mede 180 ÷ 3 = 60°. Num triângulo isósceles, os dois ângulos da base são iguais; a OpenStax também atribui essa descoberta a Tales. Se o ângulo do topo de um triângulo isósceles mede 40°, cada ângulo da base mede (180 − 40) ÷ 2 = 70°.

Um ângulo externo é formado prolongando um lado além de um vértice. Ele forma um par linear com o ângulo interno ali, então é igual a 180° menos esse ângulo, e como os três ângulos internos somam 180°, ele também é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes. Com A = 50° e B = 60°, o ângulo externo em C mede 110°, sem precisar achar C (que mede 70°).

Polígonos

Qualquer polígono pode ser dividido em triângulos traçando diagonais a partir de um vértice. Um polígono de n lados se divide em n − 2 triângulos, e os ângulos deles juntos formam os ângulos do polígono. Isso dá a fórmula que a OpenStax apresenta: os ângulos internos de um polígono de n lados somam S = (n − 2) × 180°. Um quadrilátero dá 360°, um pentágono 540°, um hexágono 720°, um heptágono 900°. Num polígono regular todos os ângulos são iguais, então cada um mede S ÷ n: 108° no pentágono regular, 120° no hexágono regular, como o alvéolo de um favo de mel.

Há um segundo jeito de ver a soma dos ângulos de um polígono. Dê a volta inteira pela borda de um polígono. Em cada vértice você gira o ângulo externo dele, e quando volta ao ponto de partida deu exatamente uma volta completa. Então os ângulos externos de qualquer polígono convexo somam 360°, seja qual for o número de lados. No hexágono regular cada ângulo externo mede 360 ÷ 6 = 60°, e cada ângulo interno mede 180 − 60 = 120°, o que bate com a fórmula.