Winkelsumme in Dreiecken und Vielecken

Zeichne ein beliebiges Dreieck, so lang und schmal du willst, und seine drei Winkel ergeben trotzdem 180°. Die Winkel eines Siebenecks ergeben 900°.

Warum ein Dreieck 180° ergibt

OpenStax nennt es eine der wichtigsten Eigenschaften von Dreiecken: Die Innenwinkel ergeben zusammen 180°. Du kannst das mit Papier ausprobieren. Schneide ein Dreieck aus, reiß seine drei Ecken ab und leg sie mit den Spitzen aneinander. Sie füllen genau eine Gerade aus. Das Labor unten macht dasselbe mit dem Knopf Aneinanderlegen, für jedes Dreieck, das du dir zurechtziehst.

Der Beweis nutzt die vorige Einheit. Zeichne durch die obere Ecke C eine Parallele zur Grundseite AB. Die beiden Seiten, die von C ausgehen, wirken als Schnittgeraden. Der Winkel zwischen der neuen Geraden und der Seite CA ist ein innerer Wechselwinkel zum Winkel A, also gleich A; auf der anderen Seite passiert dasselbe mit B. Jetzt liegen die drei Winkel bei C, nämlich A, dann C selbst, dann B, an der neuen Geraden. Ein gestreckter Winkel misst 180°, also A + B + C = 180°.

Was aus 180° folgt

Ein Dreieck kann höchstens einen rechten oder einen stumpfen Winkel haben, weil zwei davon schon 180° oder mehr erreichen würden. In einem rechtwinkligen Dreieck ergeben die beiden spitzen Winkel zusammen 90°, sie sind also Komplementwinkel. In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß, also misst jeder 180 ÷ 3 = 60°. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß; auch diese Entdeckung schreibt OpenStax Thales zu. Ist der Winkel an der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks 40°, misst jeder Basiswinkel (180 − 40) ÷ 2 = 70°.

Ein Außenwinkel entsteht, wenn man eine Seite über eine Ecke hinaus verlängert. Er bildet mit dem Innenwinkel dort Nebenwinkel, ist also 180° minus diesen Winkel. Und weil die drei Innenwinkel zusammen 180° ergeben, ist er auch gleich der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. Mit A = 50° und B = 60° ist der Außenwinkel bei C gleich 110°, ohne dass man C (das sind 70°) überhaupt ausrechnen muss.

Vielecke

Jedes Vieleck lässt sich in Dreiecke zerlegen, indem man von einer Ecke aus Diagonalen zieht. Ein Vieleck mit n Seiten zerfällt in n − 2 Dreiecke, und deren Winkel bilden zusammen die Winkel des Vielecks. Daraus ergibt sich die Formel, die OpenStax angibt: Die Innenwinkel eines n-Ecks ergeben zusammen S = (n − 2) × 180°. Ein Viereck ergibt 360°, ein Fünfeck 540°, ein Sechseck 720°, ein Siebeneck 900°. In einem regelmäßigen Vieleck sind alle Winkel gleich groß, also misst jeder S ÷ n: 108° im regelmäßigen Fünfeck, 120° im regelmäßigen Sechseck wie bei einer Bienenwabe.

Es gibt einen zweiten Blick auf die Winkelsummen von Vielecken. Geh einmal ganz um den Rand eines Vielecks herum. An jeder Ecke drehst du dich um ihren Außenwinkel, und wenn du wieder am Start bist, hast du dich genau einmal ganz gedreht. Die Außenwinkel jedes konvexen Vielecks ergeben also zusammen 360°, egal wie viele Seiten es hat. Beim regelmäßigen Sechseck misst jeder Außenwinkel 360 ÷ 6 = 60°, und jeder Innenwinkel 180 − 60 = 120°, was zur Formel passt.