Parallelen und Schnittgeraden

Eine Gerade, die zwei Parallelen schneidet, erzeugt acht Winkel, doch darunter kommen nur zwei Größen vor, und diese beiden ergeben zusammen immer 180°.

Acht Winkel durch eine schneidende Gerade

Bahngleise, die Linien auf Schreibpapier und die Kanten eines Lineals sind parallel: Sie verlaufen nebeneinander und treffen sich nie. Eine Gerade, die zwei andere Geraden schneidet, heißt Schnittgerade. An jedem Schnittpunkt entstehen vier Winkel, insgesamt also acht. OpenStax nummeriert sie am oberen Schnittpunkt von 1 bis 4 und am unteren von 5 bis 8. Die Winkel 3, 4, 5 und 6 heißen innen liegend, weil sie zwischen den beiden Geraden liegen. Die Winkel 1, 2, 7 und 8 liegen außen.

Die Namen der Paare

Sind die beiden Geraden parallel, trifft die Schnittgerade beide unter demselben Winkel. Das Bild am unteren Schnittpunkt ist also eine Kopie des Bildes am oberen. Aus dieser einen Tatsache folgen alle Regeln unten. Stufenwinkel liegen an beiden Schnittpunkten an derselben Stelle, etwa 1 und 5 oder 4 und 8, und sie sind gleich groß. Innere Wechselwinkel liegen zwischen den Geraden auf verschiedenen Seiten der Schnittgeraden, 3 und 6 oder 4 und 5, und sie sind gleich groß. Äußere Wechselwinkel liegen außerhalb der Geraden auf verschiedenen Seiten, 2 und 7 oder 1 und 8, und auch sie sind gleich groß.

Ein weiteres Paar ist nützlich. Nachbarwinkel wie 3 und 5 liegen zwischen den Geraden auf derselben Seite der Schnittgeraden. Sie sind nicht gleich groß, sondern ergeben zusammen 180°. Warum, siehst du so: Winkel 5 ist gleich Winkel 1 (Stufenwinkel), und die Winkel 1 und 3 sind Nebenwinkel.

Aus einem Winkel alle acht bestimmen

Weil nur zwei Größen vorkommen, verrät dir ein Winkel alle acht. Angenommen, Winkel 2 misst 62°. Sein Scheitelwinkel, Winkel 3, misst 62°, und die Stufenwinkel 6 und 7 ebenfalls 62°. Jeder andere Winkel ist das Supplement, 180 − 62 = 118°. In der Praxis brauchst du die Namen der Paare kaum: Entscheide, ob ein Winkel spitz oder stumpf aussieht, dann ist er entweder der gegebene Winkel oder 180° minus diesen.

Die Regeln gelten auch umgekehrt, und das liefert einen praktischen Test für Parallelen. Bildet eine Schnittgerade mit zwei Geraden gleich große Stufenwinkel, sind die Geraden parallel. Unterscheiden sich die Winkel auch nur um ein Grad, treffen sich die Geraden irgendwo, wie der Neigungsregler im Labor zeigt.

Buchstabenformen als Merkhilfe

Eine verbreitete Merkhilfe nutzt Buchstabenformen, die in der Figur versteckt sind. Fährst du innere Wechselwinkel nach, bilden die beiden Parallelen mit der Schnittgeraden dazwischen ein Z (oder ein gespiegeltes Z): Die gleich großen Winkel sitzen in den beiden inneren Ecken des Z. Stufenwinkel sitzen unter den Armen eines F, und Nachbarwinkel sitzen in einem C oder U. Die Buchstaben sind nur eine Merkhilfe; der Grund bleibt, dass die Schnittgerade beide Parallelen unter demselben Winkel trifft.

Ein ausgedachter Stadtplan zeigt die Idee in Aktion. Zwei parallele Alleen werden von einer schrägen Straße unter 70° gekreuzt. Wer von dieser Straße in eine der beiden Alleen abbiegt, macht an der einen Ecke dieselbe scharfe Kurve von 70° und an der anderen dieselbe weite Kurve von 110°, weil die beiden Kreuzungen Kopien voneinander sind.