Evenwijdige lijnen en een snijlijn

Een lijn die twee evenwijdige lijnen snijdt, maakt acht hoeken. Toch komen er maar twee groottes in voor, en die zijn samen altijd 180°.

Acht hoeken door één snijlijn

Spoorrails, de lijnen op schrijfpapier en de randen van een liniaal zijn evenwijdig: ze lopen naast elkaar en raken elkaar nooit. Een lijn die twee andere lijnen snijdt, heet een snijlijn. Waar hij elke lijn snijdt, maakt hij vier hoeken, dus samen zijn het er acht. OpenStax nummert ze 1 tot 4 bij het bovenste snijpunt en 5 tot 8 bij het onderste, en noemt de hoeken 3, 4, 5 en 6 binnenhoeken omdat ze tussen de twee lijnen liggen. De hoeken 1, 2, 7 en 8 liggen erbuiten en zijn buitenhoeken.

De namen van de paren

Als de twee lijnen evenwijdig zijn, snijdt de snijlijn ze allebei onder dezelfde hoek. Het beeld bij het onderste snijpunt is dus een kopie van het beeld bij het bovenste. Uit dat ene feit volgen alle regels hieronder. F-hoeken (overeenkomstige hoeken) staan op dezelfde plaats bij de twee snijpunten, zoals 1 en 5 of 4 en 8, en ze zijn gelijk. Z-hoeken (verwisselde binnenhoeken) liggen tussen de lijnen aan weerszijden van de snijlijn, 3 en 6 of 4 en 5, en ze zijn gelijk. Verwisselde buitenhoeken liggen buiten de lijnen aan weerszijden, 2 en 7 of 1 en 8, en die zijn ook gelijk.

Nog één paar is handig. Binnenhoeken aan dezelfde kant, zoals 3 en 5, liggen tussen de lijnen aan dezelfde kant van de snijlijn. Ze zijn niet gelijk, maar samen 180°. Je ziet waarom: hoek 5 is gelijk aan hoek 1 (F-hoeken), en de hoeken 1 en 3 zijn nevenhoeken.

Alle acht vinden uit één hoek

Omdat er maar twee groottes voorkomen, ken je alle acht hoeken zodra je er één weet. Stel dat hoek 2 gelijk is aan 62°. De overstaande hoek, hoek 3, is 62°, en de F-hoeken 6 en 7 zijn ook 62°. Elke andere hoek is het supplement: 180 − 62 = 118°. In de praktijk heb je de namen van de paren zelden nodig. Bepaal of een hoek er scherp of stomp uitziet, en hij is ofwel de gegeven hoek ofwel 180° min die hoek.

De regels werken ook omgekeerd, en dat geeft een handige test voor evenwijdige lijnen. Maakt een snijlijn gelijke F-hoeken met twee lijnen, dan zijn die lijnen evenwijdig. Verschillen de hoeken ook maar één graad, dan snijden de lijnen elkaar ergens, zoals de schuifregelaar Helling in het lab laat zien.

Lettervormen die helpen

Een bekend ezelsbruggetje gebruikt lettervormen die in de figuur verstopt zitten. Volg bij Z-hoeken de twee evenwijdige lijnen met de snijlijn ertussen en je tekent een Z (of een gespiegelde Z): de gelijke hoeken zitten in de twee binnenhoeken van de Z. F-hoeken zitten onder de armen van een F, en binnenhoeken aan dezelfde kant zitten in een C of U. De letters zijn alleen een geheugensteuntje. De echte reden blijft dat de snijlijn beide evenwijdige lijnen onder dezelfde hoek snijdt.

Een verzonnen plattegrond laat zien hoe dit werkt. Twee evenwijdige lanen worden onder 70° gekruist door een schuine weg. Een automobilist die van die weg een van de lanen in rijdt, maakt bij de ene hoek dezelfde scherpe bocht van 70° en bij de andere dezelfde wijde bocht van 110°, omdat de twee kruisingen kopieën van elkaar zijn.