Droites parallèles et sécantes

Une droite qui coupe deux parallèles forme huit angles, mais on n'y trouve que deux mesures différentes, et leur somme vaut toujours 180°.

Huit angles pour une seule sécante

Les rails d'une voie ferrée, les lignes d'une feuille de cahier et les bords d'une règle sont parallèles : ils avancent côte à côte sans jamais se rencontrer. Une droite qui coupe deux autres droites s'appelle une sécante. À chaque point d'intersection, elle forme quatre angles, donc huit en tout. OpenStax les numérote de 1 à 4 au croisement du haut et de 5 à 8 à celui du bas, et appelle internes les angles 3, 4, 5 et 6, car ils sont situés entre les deux droites. Les angles 1, 2, 7 et 8 sont à l'extérieur : ce sont les angles externes.

Le nom des paires

Quand les deux droites sont parallèles, la sécante les coupe toutes les deux sous le même angle, donc la figure du croisement du bas est une copie de celle du haut. Ce seul fait donne toutes les règles qui suivent. Les angles correspondants occupent la même position aux deux croisements, comme 1 et 5 ou 4 et 8, et ils sont égaux. Les angles alternes-internes sont entre les droites, de part et d'autre de la sécante, comme 3 et 6 ou 4 et 5, et ils sont égaux. Les angles alternes-externes sont à l'extérieur des droites, de part et d'autre de la sécante, comme 2 et 7 ou 1 et 8, et ils sont égaux eux aussi.

Une dernière paire est utile. Les angles internes du même côté, comme 3 et 5, sont entre les droites, du même côté de la sécante. Ils ne sont pas égaux ; leur somme vaut 180°. On voit pourquoi : l'angle 5 est égal à l'angle 1 (correspondants), et les angles 1 et 3 sont adjacents supplémentaires.

Retrouver les huit à partir d'un seul

Comme il n'y a que deux mesures, connaître un angle donne les huit. Disons que l'angle 2 mesure 62°. Son opposé par le sommet, l'angle 3, mesure 62°, et les angles correspondants 6 et 7 mesurent aussi 62°. Tous les autres angles valent le supplémentaire, 180 − 62 = 118°. En pratique, on a rarement besoin du nom des paires : regarde si un angle paraît aigu ou obtus, et il vaut soit l'angle donné, soit 180° moins cet angle.

Les règles marchent aussi à l'envers, ce qui donne un test pratique de parallélisme. Si une sécante forme des angles correspondants égaux avec deux droites, ces droites sont parallèles. Si les angles diffèrent ne serait-ce que d'un degré, les droites se couperont quelque part, comme le montre le curseur d'inclinaison du labo.

Des formes de lettres qui aident

Un moyen mnémotechnique courant utilise des formes de lettres cachées dans la figure. Repasse les angles alternes-internes : les deux parallèles et la sécante entre elles dessinent un Z (ou un Z à l'envers), et les angles égaux sont dans les deux coins intérieurs du Z. Les angles correspondants sont sous les branches d'un F, et les angles internes du même côté à l'intérieur d'un C ou d'un U. Les lettres ne sont qu'une aide-mémoire ; la vraie raison reste que la sécante coupe les deux parallèles sous le même angle.

Un plan de rues inventé montre l'idée en action. Deux avenues parallèles sont coupées par une route en diagonale à 70°. Un conducteur qui quitte la route pour prendre l'une ou l'autre avenue fait le même virage serré de 70° à un coin et le même virage large de 110° à l'autre, car les deux croisements sont des copies l'un de l'autre.