평행선과 동위각, 엇각

평행선 두 개를 한 직선이 가로지르면 각이 여덟 개 생기지만 크기는 두 가지뿐이고, 그 둘을 더하면 언제나 180°입니다.

가로지르는 직선 하나가 만드는 여덟 각

철로, 공책의 줄, 자의 두 가장자리는 평행합니다. 나란히 뻗어 서로 만나지 않습니다. 다른 두 직선을 가로지르는 직선을 횡단선이라고 합니다. 횡단선은 각 직선과 만나는 곳마다 각을 네 개씩 만들어 모두 여덟 개를 만듭니다. OpenStax는 위쪽 교점의 각에 1부터 4까지, 아래쪽 교점의 각에 5부터 8까지 번호를 붙이고, 두 직선 사이에 있는 3, 4, 5, 6을 안쪽 각, 바깥에 있는 1, 2, 7, 8을 바깥쪽 각이라고 부릅니다.

짝의 이름

두 직선이 평행하면 횡단선은 두 직선과 같은 각으로 만나므로, 아래 교점의 모습은 위 교점의 모습을 그대로 옮긴 것입니다. 아래의 규칙은 모두 이 사실 하나에서 나옵니다. 동위각은 두 교점에서 같은 위치에 있는 각으로 1과 5, 4와 8 같은 짝이며 크기가 같습니다. 엇각은 두 직선 사이에서 횡단선의 서로 반대쪽에 있는 각으로 3과 6, 4와 5이며 역시 크기가 같습니다. 두 직선 바깥에서 서로 반대쪽에 있는 2와 7, 1과 8도 크기가 같습니다.

쓸모 있는 짝이 하나 더 있습니다. 3과 5처럼 두 직선 사이에서 횡단선의 같은 쪽에 있는 두 각은 같지 않고, 더해서 180°가 됩니다. 이유를 따라가 볼 수 있습니다. 각 5는 동위각인 각 1과 같고, 각 1과 각 3은 한 직선 위의 이웃한 각이기 때문입니다.

하나로 여덟 각 모두 구하기

크기가 두 가지뿐이므로 한 각만 알면 여덟 각을 모두 압니다. 각 2가 62°라고 합시다. 맞꼭지각인 각 3도 62°이고, 동위각인 각 6과 각 7도 62°입니다. 나머지 각은 모두 보각인 180 − 62 = 118°입니다. 실제로는 짝의 이름을 일일이 떠올릴 필요도 별로 없습니다. 각이 예각으로 보이는지 둔각으로 보이는지만 정하면, 주어진 각이거나 180°에서 그 각을 뺀 값입니다.

이 규칙은 거꾸로도 성립하므로, 두 직선이 평행한지 실제로 확인하는 방법이 됩니다. 횡단선이 두 직선과 만드는 동위각이 같으면 두 직선은 평행합니다. 각이 1도라도 다르면 두 직선은 어딘가에서 만나고, 실험실의 기울임 슬라이더가 그 모습을 보여 줍니다.

글자 모양으로 기억하기

그림 속에 숨은 글자 모양으로 외우는 요령이 널리 쓰입니다. 안쪽 엇각을 따라 그리면 두 평행선과 그 사이의 횡단선이 Z(또는 뒤집힌 Z) 모양이 되고, 같은 두 각은 Z의 안쪽 두 모서리에 놓입니다. 동위각은 F의 두 팔 아래에, 같은 쪽 안쪽 각은 C나 U 모양 안에 놓입니다. 글자는 외우기를 돕는 요령일 뿐이고, 이유는 여전히 횡단선이 두 평행선과 같은 각으로 만난다는 데 있습니다.

지어낸 거리 지도 하나로 쓰임을 볼 수 있습니다. 평행한 두 큰길을 대각선 도로가 70°로 가로지릅니다. 이 도로에서 어느 큰길로 접어들든, 운전자는 한쪽 모퉁이에서 똑같이 70°로 급하게 꺾고 다른 모퉁이에서 똑같이 110°로 크게 돕니다. 두 교차로가 서로를 그대로 옮긴 모양이기 때문입니다.