삼각형과 다각형의 내각의 합

아무리 길쭉하게 그려도 삼각형의 세 각을 더하면 180°입니다. 칠각형의 내각을 모두 더하면 900°입니다.

삼각형이 180°인 이유

OpenStax는 이것을 삼각형의 가장 중요한 성질 가운데 하나로 꼽습니다. 삼각형의 세 내각을 더하면 180°입니다. 종이로 확인할 수 있습니다. 삼각형을 오리고 세 모서리를 찢어서 꼭짓점끼리 모아 나란히 놓으면 직선 하나를 정확히 채웁니다. 아래 실험실의 「한 줄로 모으기」 버튼이 같은 일을 하며, 끌어서 만든 어떤 삼각형에서도 됩니다.

증명에는 앞 단원의 내용을 씁니다. 꼭짓점 C를 지나며 밑변 AB에 평행한 직선을 긋습니다. C에서 나온 두 변이 횡단선 역할을 합니다. 새 직선과 변 CA 사이의 각은 각 A와 엇각이므로 A와 같고, 반대쪽에서는 같은 일이 B에 대해 일어납니다. 이제 C에 모인 세 각이 왼쪽부터 차례로 A, C, B로 새 직선을 따라 놓입니다. 평각은 180°이므로 A + B + C = 180°입니다.

180°에서 나오는 것들

삼각형에는 직각이나 둔각이 많아야 하나만 있을 수 있습니다. 둘이면 그것만으로 180° 이상이 되기 때문입니다. 직각삼각형에서 두 예각의 합은 90°이므로 두 예각은 서로 여각입니다. 정삼각형은 세 각이 모두 같으니 각각 180 ÷ 3 = 60°입니다. 이등변삼각형은 밑변의 두 각이 같습니다. OpenStax는 이 사실도 탈레스의 발견으로 소개합니다. 이등변삼각형의 꼭지각이 40°이면 밑각은 각각 (180 − 40) ÷ 2 = 70°입니다.

외각은 한 변을 꼭짓점 너머로 늘여서 생기는 각입니다. 그 꼭짓점의 내각과 한 직선을 이루므로 180°에서 내각을 뺀 값이고, 세 내각의 합이 180°이므로 나머지 두 내각의 합과도 같습니다. A = 50°, B = 60°이면 C의 외각은 C(70°)를 구하지 않아도 바로 110°입니다.

다각형

어떤 다각형이든 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 삼각형으로 나눌 수 있습니다. 변이 n개인 다각형은 삼각형 n − 2개로 나뉘고, 그 삼각형들의 각을 모두 모으면 다각형의 각이 됩니다. 그래서 OpenStax가 소개하는 공식이 나옵니다. n각형의 내각의 합은 S = (n − 2) × 180°입니다. 사각형은 360°, 오각형은 540°, 육각형은 720°, 칠각형은 900°입니다. 정다각형은 모든 각이 같으므로 한 각은 S ÷ n입니다. 정오각형은 108°, 벌집 칸 같은 정육각형은 120°입니다.

다각형 내각의 합을 보는 두 번째 방법이 있습니다. 다각형의 둘레를 따라 한 바퀴 걸어 봅니다. 꼭짓점마다 외각만큼 몸을 돌리고, 출발점에 돌아오면 정확히 한 바퀴를 돈 셈입니다. 그래서 볼록다각형의 외각을 모두 더하면 변의 수와 상관없이 360°입니다. 정육각형의 한 외각은 360 ÷ 6 = 60°이고 한 내각은 180 − 60 = 120°로, 공식과 일치합니다.