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三角形と多角形の内角の和

どんな三角形をかいても、どんなに細長くても、三つの角の和は180°です。七角形の角の和は900°です。

三角形が180°になるわけ

OpenStaxは、三角形の最も大切な性質の一つとして、内角の和が180°になることを挙げています。紙で確かめてみましょう。三角形を切りぬき、三つの角をちぎって、先を合わせて並べます。ちょうど一直線になります。下のラボでは、ドラッグして形を変えたどんな三角形でも、「並べる」ボタンで同じことができます。

証明には前の単元を使います。上の頂点Cを通り、底辺ABに平行な直線を引きます。Cから出る二つの辺が、交わる直線のはたらきをします。新しい直線と辺CAの間の角は角Aの錯角なので、Aに等しくなります。反対側でもBについて同じことが起こります。すると、Cのところにある三つの角、つまりA、C自身、Bが、新しい直線にそって並びます。平角は180°なので、A + B + C = 180°です。

Cを通る破線はABに平行です。錯角によってAとBがCのところに写され、三つの角が一直線をうめます。
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ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。

どの頂点もドラッグできます。「外角」をオンにすると辺ACがCの先までのび、「並べる」で三つの角が半円をうめるようすが見られます。

180°からわかること

三角形には、直角や鈍角は最大でも一つしかありません。二つあれば、それだけで180°以上になってしまうからです。直角三角形では二つの鋭角の和が90°なので、互いに余角です。正三角形では三つの角がすべて等しいので、どの角も180 ÷ 3 = 60°です。二等辺三角形では、底辺の両端の二つの角（底角）が等しくなります。OpenStaxでは、これもタレスの発見としています。二等辺三角形の頂角が40°なら、底角はそれぞれ（180 − 40） ÷ 2 = 70°です。

外角は、一つの辺を頂点の先までのばしてつくる角です。外角はその頂点の内角と直線上で隣接する補角の組をつくるので、180°からその内角をひいた大きさになります。そして三つの内角の和は180°なので、外角はとなりにない二つの内角の和にも等しくなります。A = 50°、B = 60°なら、C（これは70°）を求めなくても、Cにおける外角は110°です。

多角形

どんな多角形も、一つの頂点から対角線を引くと三角形に分けられます。n本の辺をもつ多角形はn − 2個の三角形に分かれ、それらの角を合わせると多角形の角になります。これでOpenStaxの示す公式が得られます：n角形の内角の和はS = (n − 2) × 180°です。四角形は360°、五角形は540°、六角形は720°、七角形は900°です。正多角形ではすべての角が等しいので、一つの角はS ÷ nで、正五角形は108°、ハチの巣の部屋のような正六角形は120°です。

一つの頂点から引いた二本の対角線で、五角形は三つの三角形に分かれます。

多角形の角の和には、もう一つの見方があります。多角形のふちにそってひとまわり歩いてみましょう。頂点ごとに外角の分だけ向きを変え、出発点に戻ったときにはちょうど一回転しています。ですから、どんな凸多角形でも、辺の数にかかわらず外角の和は360°です。正六角形なら一つの外角は360 ÷ 6 = 60°で、一つの内角は180 − 60 = 120°となり、公式と一致します。

三角形180°。n角形：（n − 2） × 180°。

  1. 三角形の二つの角が50°と60°です。残りの角は？
  2. 直角三角形の一つの鋭角が34°です。もう一つの鋭角は？
  3. 正三角形の一つの角は？
  4. 二等辺三角形の頂角が40°です。底角はそれぞれ何度？
  5. 角A = 50°、角B = 60°です。Cにおける外角は？
  6. 六角形の内角の和は？
  7. 七角形（辺が7本）の内角の和は？
  8. 正八角形の一つの内角は？
  9. 四角形の三つの角が90°、85°、110°です。四つ目の角は？
  10. 正多角形の一つの内角が140°です。辺はいくつありますか？
  11. 三角形に鈍角が二つあることはありますか？
    • ない
    • ある
ポイント
  • 三角形：A + B + C = 180°（証明：平行線と錯角）。
  • 直角三角形：鋭角の和は90°。正三角形：どの角も60°。二等辺三角形：底角が等しい。
  • 外角 = となりにない二つの内角の和。
  • n角形：（n − 2） × 180°。正n角形：一つの角は（n − 2） × 180° ÷ n。
このコースの出典 (5)
  • OpenStax, Contemporary Mathematics : 10.2 Angles (angle = two rays with a common endpoint, the vertex; naming ∠ABC and m∡; protractor use, centre mark on the vertex; acute < 90°, right 90°, obtuse between 90° and 180°, straight 180°; adjacent, supplementary (sum 180°), complementary (sum 90°), vertical angles equal; a transversal of two parallel lines makes eight angles numbered 1 to 8, alternate interior 3 and 6, 4 and 5, alternate exterior 2 and 7, 1 and 8, corresponding 1 and 5, 3 and 7, 2 and 6, 4 and 8: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-2-angles)
  • 10.3 Triangles (interior angles add to 180°; Thales is credited with the equal base angles of an isosceles triangle and with vertical angles being equal: .../pages/10-3-triangles)
  • 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (interior angle sum S = (n − 2)180°, heptagon 900°: .../pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Precalculus 2e 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a full rotation; radian: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, "The trigonometric functions" (Ptolemy divides the circle into 360° showing Babylonian influence; 30′ is half of 1°: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/)

確認日: 2026-10-17