Komplementwinkel, Supplementwinkel und Scheitelwinkel

Kreuze zwei gerade Stöcke, und du bekommst vier Winkel, aber nur zwei verschiedene Größen. Die gegenüberliegenden Winkel sind immer gleich.

Anliegende Winkel

Zwei Winkel liegen aneinander, wenn sie einen Scheitelpunkt und einen Schenkel gemeinsam haben und sich nicht überlappen, wie zwei nebeneinander geschnittene Kuchenstücke. Mit anliegenden Winkeln beginnt das Rechnen mit Winkeln, denn ihre Größen addieren sich einfach: Liegen ∠ABD = 30° und ∠DBC = 25° nebeneinander, ist der ganze Winkel ∠ABC 55°.

Paare, die zusammen 90° und 180° ergeben

Zwei Winkel heißen Komplementwinkel, wenn ihre Größen zusammen 90° ergeben, und Supplementwinkel, wenn sie zusammen 180° ergeben. Die Winkel müssen nicht nebeneinanderliegen; die Begriffe beschreiben die Summe, nicht die Lage. Jeder Winkel eines Komplementpaars heißt Komplement des anderen: Das Komplement von 35° ist 90 − 35 = 55°. Genauso ist das Supplement von 120° gleich 180 − 120 = 60°.

Füllen zwei anliegende Winkel zusammen eine Gerade aus, heißen sie Nebenwinkel, und Nebenwinkel sind immer Supplementwinkel. OpenStax nutzt das, um einen unbekannten Winkel zu finden: Ist ein Winkel an einer Geraden 35°, muss der Winkel daneben 180 − 35 = 145° sein. Nur spitze Winkel haben ein Komplement, denn bei 90° oder mehr bleibt nichts mehr zu ergänzen. Jeder Winkel unter 180° hat ein Supplement.

Scheitelwinkel

Wo sich zwei Geraden schneiden, treffen sich vier Winkel in einem Punkt. Nenne sie der Reihe nach a, b, c und d. Die einander gegenüberliegenden Winkel a und c sind Scheitelwinkel, ebenso b und d. Sie sind immer gleich groß, und die Begründung braucht zwei Geraden. Die Winkel a und b liegen an einer Geraden, also a + b = 180°. Die Winkel b und c liegen an der anderen Geraden, also b + c = 180°. Beide Summen sind 180° und beide enthalten b, also muss a gleich c sein.

Nach einer Unbekannten auflösen

Aus den Regeln für Winkelpaare werden Gleichungen. Angenommen, zwei Komplementwinkel messen 2x + 10 und x + 20 Grad. Ihre Summe ist 90, also 3x + 30 = 90 und x = 20. Die Winkel sind 50° und 40°, und die ergeben tatsächlich 90°. Setz den Wert von x immer wieder ein und prüfe die Summe; so fallen Vorzeichenfehler sofort auf.

Diese Paare kommen in jeder späteren Einheit wieder vor. In einem rechtwinkligen Dreieck ergeben die beiden kleineren Winkel immer 90°, sie sind also Komplementwinkel, und das steckt hinter der Komplementregel der Trigonometrie. Beachte auch: Das Supplement eines spitzen Winkels ist immer stumpf, das Supplement eines stumpfen Winkels immer spitz, und ein rechter Winkel ist sein eigenes Supplement.