Дополнительные, смежные и вертикальные углы

Скрести две прямые палочки, и получишь четыре угла, но только двух разных величин. Противоположные углы всегда равны.

Соседние углы

Два угла соседние, когда у них общая вершина и общая сторона и они не перекрываются, как два куска пирога, отрезанные рядом. С соседних углов начинается арифметика углов, потому что их величины просто складываются: если ∠ABD = 30° и ∠DBC = 25° стоят рядом, весь угол ∠ABC равен 55°.

Пары, которые дают в сумме 90° и 180°

Два угла называются дополнительными, если их величины в сумме дают 90°, и дополняющими до развёрнутого, если в сумме дают 180°. Углы не обязаны стоять рядом: эти слова описывают сумму, а не расположение. Каждый угол дополнительной пары называется дополнением другого: дополнение 35° равно 90 − 35 = 55°. Точно так же дополнение 120° до развёрнутого угла равно 180 − 120 = 60°.

Когда два соседних угла вместе заполняют прямую, они называются смежными, а смежные углы всегда дополняют друг друга до развёрнутого угла. OpenStax пользуется этим, чтобы найти неизвестный угол: если один угол на прямой равен 35°, соседний должен быть 180 − 35 = 145°. Дополнение до прямого угла есть только у острых углов, ведь углу в 90° или больше нечего добавить. У каждого угла меньше 180° есть дополнение до развёрнутого.

Вертикальные углы

Там, где пересекаются две прямые, в точке сходятся четыре угла. Назовём их по кругу a, b, c и d. Противоположные углы a и c являются вертикальными, как и b и d. Они всегда равны, и для объяснения хватит двух прямых. Углы a и b лежат вдоль одной прямой, поэтому a + b = 180°. Углы b и c лежат вдоль другой прямой, поэтому b + c = 180°. Обе суммы равны 180°, и в обе входит b, значит, a равно c.

Как найти неизвестный угол

Правила для пар превращаются в уравнения. Допустим, два дополнительных угла равны 2x + 10 и x + 20 градусам. Их сумма равна 90, поэтому 3x + 30 = 90 и x = 20. Углы равны 50° и 40°, и в сумме они действительно дают 90°. Всегда подставляй значение x обратно и проверяй сумму: это сразу ловит ошибки со знаками.

Эти пары возвращаются в каждом следующем уроке. В прямоугольном треугольнике два меньших угла всегда дают в сумме 90°, то есть они дополнительные, и на этом основано правило кофункций в тригонометрии. Заметь также, что дополнение острого угла до развёрнутого всегда тупое, а дополнение тупого угла всегда острое, тогда как прямой угол сам себе дополнение до развёрнутого.