Angoli complementari, supplementari e opposti al vertice

Incrocia due bastoncini dritti e ottieni quattro angoli ma solo due ampiezze diverse. Gli angoli opposti sono sempre uguali.

Angoli consecutivi

Due angoli sono consecutivi quando hanno in comune il vertice e un lato e non si sovrappongono, come due fette di torta tagliate una accanto all'altra. L'aritmetica degli angoli comincia dagli angoli consecutivi, perché le loro ampiezze si sommano semplicemente: se ∠ABD = 30° e ∠DBC = 25° stanno uno accanto all'altro, l'angolo intero ∠ABC è 55°.

Coppie che sommano 90° e 180°

Due angoli sono complementari se le loro ampiezze sommano 90°, e supplementari se sommano 180°. Non devono per forza stare uno accanto all'altro; le parole descrivono la somma, non la posizione. Ciascun angolo di una coppia complementare si chiama complementare dell'altro: il complementare di 35° è 90 − 35 = 55°. Allo stesso modo il supplementare di 120° è 180 − 120 = 60°.

Quando due angoli consecutivi insieme riempiono una linea retta, si chiamano angoli adiacenti, e due angoli adiacenti sono sempre supplementari. OpenStax usa questa proprietà per trovare un angolo sconosciuto: se un angolo su una retta è 35°, quello accanto deve essere 180 − 35 = 145°. Solo gli angoli acuti hanno un complementare, perché un angolo di 90° o più non lascia niente da aggiungere. Ogni angolo minore di 180° ha un supplementare.

Angoli opposti al vertice

Dove due rette si incrociano, quattro angoli si incontrano nel punto. Chiamali a, b, c e d girando intorno. Gli angoli uno di fronte all'altro, a e c, sono opposti al vertice, e lo sono anche b e d. Sono sempre uguali, e il motivo richiede due rette. Gli angoli a e b stanno lungo una retta, quindi a + b = 180°. Gli angoli b e c stanno lungo l'altra retta, quindi b + c = 180°. Entrambe le somme valgono 180° ed entrambe contengono b, quindi a deve essere uguale a c.

Trovare un'incognita

Le regole sulle coppie diventano equazioni. Supponi che due angoli complementari misurino 2x + 10 e x + 20 gradi. La loro somma è 90, quindi 3x + 30 = 90 e x = 20. Gli angoli sono 50° e 40°, che sommano davvero 90°. Rimetti sempre il valore di x al suo posto e controlla la somma; così scovi subito gli errori di segno.

Queste coppie tornano in tutte le unità successive. In un triangolo rettangolo i due angoli più piccoli sommano sempre 90°, quindi sono complementari, ed è su questo che si basa, in trigonometria, la regola degli archi complementari. Nota anche che il supplementare di un angolo acuto è sempre ottuso e il supplementare di un angolo ottuso è sempre acuto, mentre un angolo retto è il supplementare di sé stesso.