E, ou, não

Em um cardápio, “sopa ou salada” costuma significar uma das duas. Na lógica, “p ou q” continua verdadeira quando ambas são verdadeiras. Essa regra resolve boa parte das discussões sobre a palavra ou.

E: as duas partes precisam valer

Considere duas proposições, p: “A loja vende pão” e q: “A loja vende leite”. A conjunção p ∧ q, lida “p e q”, afirma as duas coisas ao mesmo tempo. Ela só é verdadeira em uma situação: quando p e q são ambas verdadeiras. Se a loja tem pão, mas não tem leite, a frase “A loja vende pão e leite” é falsa, pois falta metade do que ela prometeu. Com duas proposições, há quatro situações possíveis (TT, TF, FT, FF), e a conjunção é verdadeira em exatamente uma delas.

O inglês e o coreano têm várias palavras que cumprem a mesma função lógica de e. “O apartamento é pequeno, mas bem iluminado” afirma que ele é pequeno e bem iluminado; mas acrescenta um contraste, e por isso o forall x o trata como conjunção. Embora, porém, também e enquanto (no sentido de ao passo que) costumam funcionar do mesmo modo. A lógica conserva as condições de verdade e deixa de lado o tom.

Ou: pelo menos uma parte vale

A disjunção p ∨ q, lida “p ou q”, é verdadeira quando pelo menos uma entre p e q é verdadeira. Só é falsa quando ambas são falsas. Esse é o ou inclusivo, sempre representado pelo símbolo ∨. Imagine um anúncio de emprego: “Os candidatos devem falar japonês ou chinês”. É claro que alguém que fala os dois não será recusado por isso. Essa é a leitura inclusiva em ação.

Às vezes, queremos dizer “uma ou outra, mas não as duas”. Um almoço com “café ou chá” raramente permite escolher ambos. Esse é o ou exclusivo. No forall x, ele não tem um símbolo básico separado; você o constrói com os outros: (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q), que significa pelo menos uma, mas não as duas. Quando uma frase é ambígua, o mais seguro é perguntar qual leitura a pessoa pretende e escrever a versão exclusiva por extenso, se for o caso.

Não e as leis de De Morgan

A negação inverte um valor lógico. O interessante é o que acontece ao negar uma conjunção ou disjunção inteira. “Não é o caso de o apartamento ser barato e perto da estação” é verdadeira sempre que pelo menos uma parte falha: o apartamento não é barato, ou não fica perto da estação, ou ambas as coisas. Em símbolos, ¬(p ∧ q) tem o mesmo valor lógico que ¬p ∨ ¬q em todas as linhas. Da mesma forma, “Não é o caso de você poder pagar em dinheiro ou com cartão” significa que nenhuma opção está disponível: ¬(p ∨ q) equivale a ¬p ∧ ¬q. Essas duas equivalências são as leis de De Morgan, nomeadas em homenagem ao lógico Augustus De Morgan, do século dezenove.

O erro comum é levar o não para dentro dos parênteses e esquecer de trocar o conectivo. “Não (barato e perto)” não significa “não barato e não perto”. Um apartamento barato, mas longe da estação, torna a primeira frase verdadeira e a segunda falsa. Sempre que um não entra nos parênteses, e vira ou e ou vira e.

Os parênteses importam pelo mesmo motivo que na aritmética. ¬p ∧ q significa “não p, e q”, enquanto ¬(p ∧ q) significa “não as duas coisas”. Na primeira, o não afeta apenas p. Ao traduzir uma frase cotidiana, decida primeiro quais palavras o não deve abranger e só então coloque os parênteses.