E, o, non

In un menu, «zuppa o insalata» di solito significa una delle due. In logica, «p o q» resta vera quando entrambe sono vere: questa sola regola risolve gran parte delle discussioni sulla parola o.

E: devono valere entrambe le parti

Prendi due proposizioni, p: «Il negozio vende pane» e q: «Il negozio vende latte». La congiunzione p ∧ q, letta «p e q», le afferma entrambe. È vera in una sola situazione, quando p e q sono entrambe vere. Se il negozio ha il pane ma non il latte, la frase «Il negozio vende pane e latte» è falsa, perché manca metà di ciò che prometteva. Con due proposizioni ci sono quattro situazioni possibili (TT, TF, FT, FF), e una congiunzione è vera esattamente in una di esse.

L'inglese e il coreano hanno molte parole con la stessa funzione logica di e. «L'appartamento è piccolo ma luminoso» afferma che l'appartamento è piccolo e che è luminoso; ma aggiunge un contrasto, e per questo forall x lo tratta come una congiunzione. Anche sebbene, eppure, anche e mentre (nel senso di invece) funzionano di solito allo stesso modo. La logica conserva le condizioni di verità e tralascia il tono.

O: vale almeno una parte

La disgiunzione p ∨ q, letta «p o q», è vera quando almeno una fra p e q è vera. È falsa solo quando entrambe sono false. Si chiama o inclusivo, e il simbolo ∨ ha sempre questo significato. Supponi che un annuncio di lavoro dica «I candidati devono parlare giapponese o cinese». Chi parla entrambe le lingue non viene certo escluso. È un esempio di interpretazione inclusiva.

A volte intendiamo proprio «una o l'altra, ma non entrambe». Un pranzo a menu fisso che offre «caffè o tè» raramente permette di prenderli entrambi. Questo è l'o esclusivo. In forall x la logica non gli assegna un simbolo fondamentale distinto: lo si costruisce con gli altri come (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q), cioè almeno una, ma non entrambe. Se una frase è ambigua, la cosa più sicura è chiedere quale significato intenda chi parla e scrivere per intero la versione esclusiva, se è quella voluta.

Non e le leggi di De Morgan

La negazione inverte un valore di verità. Il punto interessante è cosa succede negando un'intera congiunzione o disgiunzione. «Non è vero che l'appartamento è economico e vicino alla stazione» è vera ogni volta che almeno una parte non vale: l'appartamento non è economico, oppure non è vicino alla stazione, oppure entrambe le cose. In simboli, ¬(p ∧ q) ha lo stesso valore di verità di ¬p ∨ ¬q in ogni riga. Allo stesso modo, «Non è vero che si può pagare in contanti o con carta» significa che non si può pagare in nessuno dei due modi: ¬(p ∨ q) equivale a ¬p ∧ ¬q. Queste due equivalenze si chiamano leggi di De Morgan, dal logico ottocentesco Augustus De Morgan.

L'errore comune è portare il non all'interno senza cambiare il connettivo. «Non (economico e vicino)» non significa «non economico e non vicino». Un appartamento economico ma lontano dalla stazione rende vera la prima frase e falsa la seconda. Quando un non entra nelle parentesi, e diventa o e o diventa e.

Le parentesi contano per lo stesso motivo per cui contano in aritmetica. ¬p ∧ q significa «non p, e q», mentre ¬(p ∧ q) significa «non entrambe». Nella prima il non riguarda solo p. Quando traduci una frase comune in simboli, decidi prima quali parole deve coprire il non e poi metti le parentesi.