Implicazione e contronominale

«Se piove, la partita è annullata» può essere smentita in un solo modo: piove e la partita si gioca.

Se p, allora q

Un'implicazione collega due proposizioni con se ... allora. In p → q, letta «se p, allora q», la parte dopo se è l'antecedente e quella dopo allora è il conseguente. Pensa a un'implicazione come a una promessa. Un genitore dice: «Se prendi 90 alla verifica, ti compro una bicicletta». Quando non mantiene la promessa? Solo se il figlio prende 90 e la bicicletta non arriva. Se prende 90 e riceve la bicicletta, la promessa è mantenuta. Se prende 80, la promessa non diceva nulla su quel caso: che la bicicletta arrivi o no, nessuno può dire che il genitore abbia mentito.

Da qui nasce la tavola di verità dell'implicazione usata in logica, spesso detta implicazione materiale: p → q è falsa in una sola riga, dove p è vera e q falsa, ed è vera nelle altre tre. All'inizio le due righe con antecedente falso sembrano strane. «Se la Luna è fatta di formaggio, allora 2 + 2 = 4» risulta vera. La logica lo accetta perché la frase non viene mai smentita: non c'è una situazione in cui l'antecedente valga e il conseguente no. Il se quotidiano a volte esprime altro, come una causa o un legame di significato; l'implicazione materiale conserva solo la parte verificabile.

Conversa, inversa e contronominale

Da un'implicazione puoi ricavare tre forme collegate. Parti da «Se un animale è una balena, allora è un mammifero» (p → q). La conversa scambia le parti: «Se un animale è un mammifero, allora è una balena» (q → p). L'inversa nega entrambe le parti: «Se un animale non è una balena, allora non è un mammifero» (¬p → ¬q). La contronominale scambia e nega: «Se un animale non è un mammifero, allora non è una balena» (¬q → ¬p).

Solo la contronominale ha sicuramente lo stesso valore di verità dell'originale. L'originale è vera e lo è anche la contronominale: ciò che non è un mammifero non può essere una balena. Conversa e inversa sono entrambe false, perché un cane è un mammifero ma non una balena. Nota anche che conversa e inversa sono l'una la contronominale dell'altra: perciò hanno sempre lo stesso valore di verità. Quando devi dimostrare p → q e una dimostrazione diretta è scomoda, dimostrare invece ¬q → ¬p è una strategia abituale in matematica.

Solo se, a meno che, necessario e sufficiente

L'inglese nasconde implicazioni anche in altre espressioni. forall x sottolinea che «p solo se q» si scrive p → q, non q → p. «Puoi imbarcarti solo se hai un biglietto» dice che l'imbarco richiede un biglietto: imbarco → biglietto. Non promette che il biglietto basti a salire sull'aereo. Nell'implicazione p → q, p è una condizione sufficiente per q, e q una condizione necessaria per p. Avere un biglietto è necessario per imbarcarsi, ma non sufficiente, perché servono anche un passaporto e un posto. «q se e solo se p» afferma entrambe le direzioni e si scrive p ↔ q: è la doppia implicazione.