Condicionales y contraposición

«Si llueve, se cancela el partido» solo puede incumplirse de una forma: llueve y el partido se juega.

Si p, entonces q

Un condicional une dos proposiciones mediante si... entonces. En p → q, leído «si p, entonces q», la parte después de si es el antecedente y la parte después de entonces es el consecuente. Piensa en una promesa. Un padre dice: «Si sacas 90 en el examen, te compraré una bicicleta». ¿Cuándo incumple? Solo cuando su hijo saca 90 y la bicicleta no llega. Si saca 90 y recibe la bicicleta, la promesa se cumple. Si saca 80, la promesa no decía nada de ese caso; reciba o no una bicicleta, nadie puede decir que su padre mintió.

Así obtenemos la tabla de verdad del condicional lógico, llamado a menudo condicional material: p → q es falso en exactamente una fila, donde p es verdadera y q falsa, y verdadero en las otras tres. Al principio extrañan las dos filas con antecedente falso. «Si la Luna está hecha de queso, entonces 2 + 2 = 4» resulta verdadera. La lógica lo acepta porque nunca se incumple: no hay una situación en la que se cumpla el antecedente y falle el consecuente. El si cotidiano a veces expresa algo más, como una causa o una relación de significado, pero el condicional material conserva solo la parte comprobable.

Recíproca, inversa y contrapositiva

De un condicional puedes obtener tres formas relacionadas. Parte de «Si un animal es una ballena, entonces es un mamífero» (p → q). La recíproca intercambia las partes: «Si un animal es un mamífero, entonces es una ballena» (q → p). La inversa niega ambas: «Si un animal no es una ballena, entonces no es un mamífero» (¬p → ¬q). La contrapositiva intercambia y niega: «Si un animal no es un mamífero, entonces no es una ballena» (¬q → ¬p).

Solo la contrapositiva tiene garantizado el mismo valor de verdad que la original. La original es verdadera, y también su contrapositiva: lo que no es mamífero no puede ser ballena. La recíproca y la inversa son falsas, porque un perro es mamífero y no es ballena. Observa que la recíproca y la inversa son contrapositivas entre sí, por lo que siempre coinciden. Cuando demostrar p → q directamente resulta difícil, demostrar en su lugar ¬q → ¬p es un recurso habitual en matemáticas.

Solo si, a menos que, necesario y suficiente

El inglés también expresa condicionales con otras palabras. forall x señala que «p solo si q» se simboliza como p → q, no q → p. «Puedes abordar solo si tienes boleto» dice que abordar requiere boleto: abordar → boleto. No promete que el boleto te permita subir al avión. En p → q, p es una condición suficiente para q, y q una condición necesaria para p. Tener boleto es necesario para abordar, pero no suficiente, porque también necesitas pasaporte y asiento. «q si y solo si p» afirma ambos sentidos y se escribe p ↔ q: es el bicondicional.