Implications et contraposée

« S'il pleut, le match est annulé » ne peut être contredit que d'une manière : il pleut et le match a lieu.

Si p, alors q

Une implication relie deux propositions par si... alors. Dans p → q, lu « si p, alors q », la partie après si est l'antécédent et celle après alors le conséquent. Pense à une promesse. Un parent dit : « Si tu obtiens 90 au contrôle, je t'achèterai un vélo. » Quand manque-t-il à sa promesse ? Seulement si l'enfant obtient 90 et ne reçoit pas de vélo. Si l'enfant obtient 90 et reçoit le vélo, la promesse est tenue. S'il obtient 80, la promesse ne dit rien de ce cas : vélo ou non, on ne peut pas dire que le parent a menti.

On obtient ainsi la table de vérité de l'implication utilisée en logique, souvent appelée implication matérielle : p → q est fausse sur une seule ligne, lorsque p est vraie et q fausse, et vraie sur les trois autres. Les deux lignes où l'antécédent est faux surprennent d'abord. « Si la Lune est en fromage, alors 2 + 2 = 4 » est vraie. La logique l'accepte parce que la phrase n'est jamais contredite : aucune situation ne rend son antécédent vrai et son conséquent faux. Le si courant peut exprimer davantage, comme une cause ou un lien de sens ; l'implication matérielle ne conserve que la partie vérifiable.

Réciproque, inverse et contraposée

Une implication donne trois formes apparentées. Partons de « Si un animal est une baleine, alors c'est un mammifère » (p → q). La réciproque échange les parties : « Si un animal est un mammifère, alors c'est une baleine » (q → p). L'inverse nie les deux parties : « Si un animal n'est pas une baleine, alors ce n'est pas un mammifère » (¬p → ¬q). La contraposée échange et nie : « Si un animal n'est pas un mammifère, alors ce n'est pas une baleine » (¬q → ¬p).

Seule la contraposée a nécessairement la même valeur de vérité que l'original. L'original est vrai, et sa contraposée aussi : tout animal qui n'est pas un mammifère ne peut pas être une baleine. La réciproque et l'inverse sont fausses, car un chien est un mammifère sans être une baleine. Remarque aussi qu'elles sont les contraposées l'une de l'autre : leurs valeurs concordent toujours. Pour démontrer p → q lorsqu'une preuve directe est difficile, démontrer ¬q → ¬p est une méthode classique.

Seulement si, à moins que, nécessaire et suffisant

L'anglais dissimule des implications dans d'autres expressions. forall x précise que « p seulement si q » se note p → q, et non q → p. « Tu ne peux embarquer que si tu as un billet » signifie qu'embarquer exige un billet : embarquement → billet. Cela ne promet pas qu'un billet suffit pour monter dans l'avion. Dans p → q, p est une condition suffisante pour q, et q une condition nécessaire pour p. Avoir un billet est nécessaire pour embarquer, mais pas suffisant : il faut aussi un passeport et une place. « q si et seulement si p » affirme les deux sens et se note p ↔ q, une équivalence logique.