Tables de vérité

Trois lettres donnent 2 × 2 × 2 = 8 lignes. Une table de vérité les écrit toutes : aucun cas n'est laissé au hasard.

Une ligne pour chaque situation possible

Les connecteurs des deux unités précédentes ont une propriété utile : connaître la valeur vraie ou fausse de chaque partie simple fixe celle de toute la proposition composée. Une table de vérité exploite cette propriété. Elle énumère toutes les combinaisons possibles de valeurs des propositions simples, une par ligne, puis calcule la valeur de la proposition composée sur chaque ligne. Le sens des phrases n'intervient pas, seulement les valeurs T et F.

Combien de lignes ? Chaque proposition simple peut être T ou F : chaque nouvelle lettre double donc le nombre. Une lettre donne 2 lignes, deux en donnent 4, trois en donnent 8, et n lettres donnent 2 puissance n. Avec cinq lettres, on atteint déjà 32 lignes, d'où l'intérêt de formules courtes. La présentation habituelle, utilisée dans forall x et la plupart des manuels, partage la première colonne en une moitié supérieure de T et une moitié inférieure de F, la deuxième en quarts, et ainsi de suite, jusqu'à la dernière qui alterne T, F, T, F. Cela garantit qu'aucune combinaison n'est oubliée ni répétée.

Calculer de l'intérieur vers l'extérieur

Prenons (p ∨ q) ∧ ¬r. Après les trois colonnes d'entrée, ajoute une colonne pour chaque morceau dans l'ordre où tu calculerais des parenthèses en arithmétique : d'abord p ∨ q, puis ¬r, puis le connecteur principal ∧ qui les relie. À chaque ligne, tu n'appliques qu'une petite règle des unités précédentes. La dernière colonne donne la réponse. Ici, la proposition est vraie sur 3 des 8 lignes : celles où r est fausse et au moins l'une de p et q est vraie.

Tautologies, contradictions et équivalence

Certaines colonnes finales ne contiennent que des T. La proposition p ∨ ¬p (« il pleut ou il ne pleut pas ») est vraie sur chaque ligne, quel que soit le temps. C'est une tautologie, ou vérité logique. D'autres ne contiennent que des F, comme p ∧ ¬p : ce sont des contradictions. La plupart des propositions sont vraies sur certaines lignes et fausses sur d'autres. Elles sont dites contingentes : leur vérité dépend de l'état du monde.

Deux propositions sont équivalentes lorsque leurs colonnes finales concordent ligne par ligne. Cela permet de vérifier les lois de De Morgan ou l'équivalence d'une implication et de sa contraposée : construis les deux colonnes avec les mêmes entrées, puis compare-les. La table montre aussi que p → q a la même colonne que ¬p ∨ q, une réécriture utile lorsqu'un exercice n'autorise que non, et et ou.