Tavole di verità

Tre lettere danno 2 × 2 × 2 = 8 righe, e in una tavola di verità compaiono tutte: nessun caso è lasciato all'intuizione.

Una riga per ogni situazione possibile

I connettivi delle ultime due unità hanno una proprietà utile: una volta stabilito se ogni parte semplice è vera o falsa, il valore di verità dell'intera proposizione composta è fissato. Una tavola di verità sfrutta questa proprietà. Elenca tutte le combinazioni possibili dei valori di verità delle proposizioni semplici, una per riga, e calcola poi il valore della proposizione composta in ogni riga. Non serve sapere il significato delle frasi: bastano T e F.

Quante righe? Ogni proposizione semplice può essere T o F, quindi ogni nuova lettera raddoppia il numero. Una lettera dà 2 righe, due lettere 4, tre 8, e n lettere danno 2 elevato a n. Una tavola con cinque lettere ha già 32 righe: per questo chi usa spesso le tavole tiene brevi le formule. Il metodo abituale, usato in forall x e in molti manuali, divide la prima colonna in una metà superiore di T e una inferiore di F, la seconda in quarti, e così via, fino all'ultima colonna che alterna T, F, T, F. Questo schema garantisce che nessuna combinazione manchi o si ripeta.

Dall'interno verso l'esterno

Prendi (p ∨ q) ∧ ¬r. Dopo le tre colonne iniziali, aggiungi una colonna per ogni parte nell'ordine con cui risolveresti le parentesi in aritmetica: prima p ∨ q, poi ¬r, infine il connettivo principale ∧ che le collega. In ogni riga applichi soltanto una piccola regola delle unità precedenti. L'ultima colonna è la risposta. Qui l'intera proposizione è vera in 3 delle 8 righe: quelle in cui r è falsa e almeno una fra p e q è vera.

Tautologie, contraddizioni ed equivalenza

Alcune colonne finali contengono solo T. La proposizione p ∨ ¬p («piove o non piove») è vera in ogni riga, qualunque sia il tempo. Una proposizione così si chiama tautologia, o verità logica. Altre contengono solo F, come p ∧ ¬p: sono contraddizioni. La maggior parte delle proposizioni è vera in alcune righe e falsa in altre, e si dice contingente: la sua verità dipende da come è il mondo.

Due proposizioni sono equivalenti se le colonne finali coincidono riga per riga. Così si verificano le leggi di De Morgan o l'equivalenza fra un'implicazione e la sua contronominale: costruisci entrambe le colonne sugli stessi valori iniziali e confrontale. La tavola mostra anche che p → q ha la stessa colonna di ¬p ∨ q, un modo utile di riscrivere un'implicazione quando un problema permette solo non, e e o.