Tabel kebenaran

Tiga huruf menghasilkan 2 × 2 × 2 = 8 baris, dan tabel kebenaran menuliskan semuanya, sehingga tidak ada kasus yang perlu ditebak.

Satu baris untuk setiap kemungkinan keadaan

Penghubung dari dua unit terakhir memiliki sifat berguna: setelah kamu mengetahui apakah setiap bagian sederhana benar atau salah, nilai kebenaran seluruh pernyataan majemuk sudah ditentukan. Tabel kebenaran memanfaatkannya. Tabel mencatat setiap kemungkinan kombinasi nilai kebenaran pernyataan sederhana, satu kombinasi per baris, lalu menghitung nilai pernyataan majemuk pada setiap baris. Makna kalimatnya tidak diperlukan, hanya nilai T dan F.

Berapa banyak barisnya? Setiap pernyataan sederhana bisa T atau F, jadi setiap huruf baru menggandakan jumlah baris. Satu huruf menghasilkan 2 baris, dua huruf 4, tiga huruf 8, dan n huruf menghasilkan 2 pangkat n. Tabel dengan lima huruf saja sudah memiliki 32 baris. Itulah sebabnya orang yang sering memakai tabel kebenaran menjaga rumusnya tetap pendek. Cara lazim menuliskan baris, yang dipakai forall x dan kebanyakan buku ajar, adalah membagi kolom pertama menjadi separuh atas T dan separuh bawah F, kolom kedua menjadi seperempat-seperempat, dan seterusnya, hingga kolom terakhir bergantian T, F, T, F. Pola itu memastikan tidak ada kombinasi terlewat atau terulang.

Mengerjakan dari dalam ke luar

Ambil pernyataan (p ∨ q) ∧ ¬r. Setelah tiga kolom masukan, tambahkan kolom untuk setiap bagian dengan urutan seperti mengerjakan kurung dalam aritmetika: pertama p ∨ q, lalu ¬r, lalu penghubung utama ∧ yang menggabungkannya. Pada setiap baris kamu hanya menerapkan satu aturan kecil dari unit sebelumnya. Kolom terakhir adalah jawabannya. Di sini seluruh pernyataan benar pada 3 dari 8 baris, yaitu saat r salah dan setidaknya salah satu dari p dan q benar.

Tautologi, kontradiksi, dan kesetaraan

Sebagian kolom terakhir berisi T seluruhnya. Pernyataan p ∨ ¬p (“sedang hujan atau tidak sedang hujan”) benar pada setiap baris, apa pun cuacanya. Pernyataan semacam itu disebut tautologi atau kebenaran logis. Ada pula yang seluruhnya F, seperti p ∧ ¬p; ini disebut kontradiksi. Kebanyakan pernyataan benar pada sebagian baris dan salah pada yang lain, dan disebut kontingen: kebenarannya bergantung pada keadaan dunia.

Dua pernyataan setara jika kolom terakhirnya sama baris demi baris. Begitulah cara memeriksa hukum De Morgan atau klaim bahwa implikasi setara dengan kontraposisinya: buat kedua kolom dengan masukan yang sama, lalu bandingkan. Tabel juga menunjukkan bahwa p → q memiliki kolom yang sama dengan ¬p ∨ q. Ini berguna untuk menulis ulang implikasi ketika soal hanya mengizinkan tidak, dan, serta atau.