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ホーム›論理とパズル›命題と真偽

真理値表

3つの文字なら2 × 2 × 2 = 8行です。真理値表はすべての組合せを書き出すので、推測に頼る余地は残りません。

考えられる状況ごとに1行

前の2単元で学んだ論理結合子には便利な性質があります。単純な各部分の真偽が決まれば、複合命題全体の真理値も決まります。真理値表はこの性質を使います。単純命題の真理値の組合せを1行ずつすべて並べ、各行で複合命題の真理値を求めます。文の意味は不要で、TとFの値だけを使います。

何行必要でしょうか。単純命題はそれぞれTかFなので、文字が1つ増えるたびに行数は倍になります。1文字で2行、2文字で4行、3文字で8行、n文字で2のn乗行です。5文字でも32行になるため、真理値表をよく使う人は式を短く保ちます。『forall x』や多くの教科書での並べ方は、最初の列の上半分をT、下半分をFとし、次の列は4分の1ずつに分け、最後の列ではT、F、T、Fを交互に並べるというものです。これで抜けや重複がなくなります。

内側から順に計算する

(p ∨ q) ∧ ¬rを考えます。3つの入力列の後に、算数で括弧を計算するときと同じ順で列を加えます。まずp ∨ q、次に¬r、最後に両者を結ぶ主結合子∧です。各行では、これまでに学んだ小さな規則を1つずつ使うだけです。最後の列が答えになります。この命題全体が真なのは8行中3行で、rが偽かつpとqの少なくとも一方が真の行です。

(p ∨ q) ∧ ¬rの真理値表です。色付きの列は主結合子を表します。枠で囲んだ3行で命題全体が真になります。

恒真式、矛盾式、同値

最後の列がすべてTになる場合があります。p ∨ ¬p（「雨が降っている、または降っていない」）は天気にかかわらず全行で真です。このような命題を恒真式、または論理的真理と呼びます。p ∧ ¬pのようにすべてFになるものは矛盾式です。多くの命題は真の行と偽の行を持つ偶然的命題で、真かどうかは世界の状況に依存します。

最後の列がすべての行で一致する2つの命題は同値です。ド・モルガンの法則や条件文と対偶の同値性は、同じ入力に対して2つの列を作り、比べれば確認できます。また、p → qと¬p ∨ qも同じ列になります。否定、連言、選言だけで表す問題では、この書き換えが役立ちます。

背景真理値表は、1921年に『論理哲学論考』を出版したルートヴィヒ・ウィトゲンシュタインや、同年『American Journal of Mathematics』の論文で使ったエミール・ポストの功績とされることがよくあります。しかし、その歴史はさらに古いものでした。1997年、ジョン・ショスキーは、バートランド・ラッセルの1912年の講演のタイプ原稿の裏に真理値表があると報告しました。条件文の表はウィトゲンシュタインの筆跡でした。その後、歴史家アーヴィング・アネリスは、アメリカの論理学者チャールズ・パースが1893年の未刊原稿にすでに条件文の真理値表を書いていたことを示しました。
  1. 3文字の真理値表は何行ですか？
  2. 5文字の真理値表は何行ですか？
  3. 恒真式はどれですか？
    • p ∨ ¬p
    • p ∧ ¬p
    • p → ¬p
  4. p ∧ ¬pは何ですか？
    • 恒真式
    • 矛盾式
    • 偶然的命題
  5. 8行のうち、(p ∨ q) ∧ ¬rが真なのは何行ですか？
  6. p → qと同じ真理値表になるのはどれですか？
    • ¬p ∨ q
    • p ∨ ¬q
    • ¬p → ¬q
  7. 通常の順に書いた4文字の表で、最初の列のTは何個ですか？
  8. 2つの命題が同値なのは、どの場合ですか？
    • 最後の列がすべての行で一致するとき
    • Tの行が少なくとも1つ共通するとき
    • 同じ文字を使うとき
  9. 真理値表を作る手順を順番に並べましょう。
  10. ある行では真、ほかの行では偽になる命題を何と呼びますか？
    • 偶然的命題
    • 恒真式
    • 矛盾式
ポイント
  • n文字なら2のn乗行です。
  • 半分、4分の1…と区切って入力を埋め、抜けを防ぎます。
  • 内側から順に計算します。主結合子の列が答えです。
  • すべてTなら恒真式、すべてFなら矛盾式、列が同じなら同値です。
このコースの出典 (9)
  • P. D. Magnus, Tim Button, Aaron Thomas-Bolduc, Richard Zach, forall x: Calgary , chapters 1 to 6 on sentences, arguments, validity, soundness, connectives and truth tables (forallx.openlogicproject.org/html/)
  • Stanford Encyclopedia of Philosophy, Robin Smith, "Aristotle's Logic" (plato.stanford.edu/entries/aristotle-logic/)
  • definition of deduction from Prior Analytics I.2 24b18-20, the three figures and the medieval names Barbara and Celarent
  • Aristotle, On Interpretation 17a, E. M. Edghill translation (classics.mit.edu/Aristotle/interpretation.1.1.html)
  • "a prayer is a sentence, but is neither true nor false"
  • Irving H. Anellis, "Peirce's Truth-functional Analysis and the Origin of Truth Tables" (arxiv.org/abs/1108.2429): Peirce manuscript of 1893, Shosky's 1997 find on a 1912 Russell typescript
  • Emil Post, "Introduction to a general theory of elementary propositions", American Journal of Mathematics 43 (1921)
  • Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (1921, English 1922)
  • 4.31. Everyday example sentences are made up for teaching.

確認日: 2026-10-17