命題と真偽
論理学の基本的な道具を6単元で学びます。命題と真理値、かつ・または・否定、条件文と対偶、真理値表、妥当性と健全性、三段論法を扱います。各単元には真理値表や領域の図、暗記カード、理由付きの練習問題10問または11問があります。
進み具合
はじめる前に
数えられれば、それ以上の数学は要りません。真理値表は2倍ずつ増えるので、3つの文字なら 2 × 2 × 2 = 8 行になり、これは進みながら説明されます。いちばん役立つのは丁寧に読む根気です。多くの問題が「または」「ならば」「でない限り」のような1語にかかっているからです。
終わったら
文を命令や意見と区別し、主張を正しく否定し、ド・モルガンの法則を使えるようになります。「ならば」の文を成り立たなくする唯一の場合を見抜き、逆、裏、対偶をつくり、8行の真理値表を埋め、議論が妥当でも健全でない場合を説明し、三段論法を媒概念の不周延で調べられます。
- 1命題と真理値「ドアを閉めて」は従うことも無視することもできますが、真でも偽でもありません。「ドアが閉まっている」なら真偽があります。この一文の違いが、論理学の出発点です。
- 2かつ、または、否定メニューの「スープまたはサラダ」は普通、どちらか一方を意味します。論理学ではpとqの両方が真でも「pまたはq」は真です。この1つの規則で、「または」をめぐる疑問の大半が解決します。
- 3条件文と対偶「雨が降れば試合は中止になる」が破られるのは、雨が降っているのに試合を行う場合だけです。
- 4真理値表3つの文字なら2 × 2 × 2 = 8行です。真理値表はすべての組合せを書き出すので、推測に頼る余地は残りません。
- 5妥当性と健全性「すべての魚は飛べる。サケは魚である。したがってサケは飛べる」。結論は偽ですが、論証は妥当です。論理学には、何がまずかったのかを表す別の言葉があります。
- 6三段論法「すべてのクジラは哺乳類である。すべての哺乳類は空気を吸う。したがってすべてのクジラは空気を吸う」。中世の学生は、この形式をBarbaraと呼びました。3つのaは3つの文の種類を表す符号です。
このコースの出典 (9)
- P. D. Magnus, Tim Button, Aaron Thomas-Bolduc, Richard Zach, forall x: Calgary , chapters 1 to 6 on sentences, arguments, validity, soundness, connectives and truth tables (forallx.openlogicproject.org/html/)
- Stanford Encyclopedia of Philosophy, Robin Smith, "Aristotle's Logic" (plato.stanford.edu/entries/aristotle-logic/)
- definition of deduction from Prior Analytics I.2 24b18-20, the three figures and the medieval names Barbara and Celarent
- Aristotle, On Interpretation 17a, E. M. Edghill translation (classics.mit.edu/Aristotle/interpretation.1.1.html)
- "a prayer is a sentence, but is neither true nor false"
- Irving H. Anellis, "Peirce's Truth-functional Analysis and the Origin of Truth Tables" (arxiv.org/abs/1108.2429): Peirce manuscript of 1893, Shosky's 1997 find on a 1912 Russell typescript
- Emil Post, "Introduction to a general theory of elementary propositions", American Journal of Mathematics 43 (1921)
- Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (1921, English 1922)
- 4.31. Everyday example sentences are made up for teaching.
確認日: 2026-10-17