命題と真理値

「ドアを閉めて」は従うことも無視することもできますが、真でも偽でもありません。「ドアが閉まっている」なら真偽があります。この一文の違いが、論理学の出発点です。

真か偽かを問える文

論理学は論証を研究します。論証は、前提と呼ばれる文の集まりと、そこから導かれるはずの結論という文からなります。どんな文でも前提や結論になれるわけではありません。「雨が降っていますか」という疑問文は情報を求めます。「傘を持ってきて」という命令文は行動を指示します。「痛い！」という叫びは痛みを表します。どれも何かが成り立つとは述べていないので、主張のように正しいか間違いかを問うことはできません。

一方、「今、釜山で雨が降っている」は世界について主張する文で、その正しさは実際の世界によって決まります。公開教科書『forall x』は、論理学でいう文を、真か偽のいずれかである文と定義しています。数学の授業や多くの教科書では、これを命題と呼びます。真であること、偽であることを命題の真理値と呼び、すべての命題はこの2つの真理値のどちらか一方を持ちます。

命題の真偽がわかっている必要はありません。「海雲台海岸の砂粒の数は偶数である」は、誰も数えなくても真か偽のどちらかなので命題です。「別の恒星の惑星に生命が存在する」も命題です。論理学が問うのは文に真理値があるかどうかで、どちらの値なのかを調べる仕事は科学や歴史、実際の確認に任せます。

意見、曖昧な言葉、変数を含む文

ここでは2つの考え方が分かれます。『forall x』は、文が真か偽かを問えるということと、事実と意見の区別を混同しないよう注意しています。「キムチチゲは最高の料理だ」も前提として使える文に含まれます。一方、韓国の学校数学の定義はより厳密です。誰でも真偽を明確に判断できるものだけを命題と呼ぶため、「最高の料理」「美しい歌」といった価値判断は除きます。この講座では論理学の教科書に従いますが、学校の試験では、より厳密な定義に従ってください。

曖昧な言葉にも同じような問題があります。「ミンホは背が高い」は、どこからを高いとするか決めるまで真理値が定まりません。「x + 2 = 5」のように変数を含む文は、xが3なら真、それ以外なら偽なので、それだけではまだ命題ではありません。韓国の教科書はこれを条件と呼びます。代名詞も同様で、「彼女は2009年生まれだ」が命題になるのは、彼女が誰か決まってからです。

否定：命題の真偽を反転する

命題pの否定は¬pと書き、「pではない」と読みます。pが偽のとき、かつそのときに限り真になります。「店が開いている」の否定は「店は開いていない」です。ここまでは簡単です。注意したいのは「すべて」「ある」といった言葉です。「すべてのバスが遅れている」の否定は「すべてのバスが遅れていない」ではありません。「すべてのバスが遅れているわけではない」、つまり少なくとも1台は定刻どおりという意味です。否定を確かめるには、どんな状況でも必ず一方だけが真になるかを考えます。両方が同時に偽になりうるなら、それは反対の内容であって否定ではありません。

「店が開いている」のような命題を単純命題、または原子命題と呼びます。「かつ」「または」「ではない」「もし…ならば」といった言葉で単純命題を組み合わせると複合命題になります。その真理値は、構成する命題の真理値だけで決まります。次の単元から、こうした接続の言葉を1つずつ見ていきます。