Высказывания и значения истинности

«Закрой дверь» можно выполнить или проигнорировать, но нельзя назвать истинным или ложным. «Дверь закрыта» можно. С этого различия между двумя предложениями начинается логика.

Предложения, которые могут быть истинными или ложными

Логика изучает рассуждения: список предложений, называемых посылками, и следующее за ними предложение, называемое заключением, которое должно из них вытекать. Не всякое предложение подходит на эту роль. Вопрос «Идёт дождь?» запрашивает информацию. Приказ «Возьми зонт» указывает, что сделать. Возглас «Ай!» выражает боль. Ни одно из них не утверждает, что нечто имеет место, поэтому они не могут быть верными или ошибочными в том смысле, в каком бывает утверждение.

Сравни: «В Пусане сейчас идёт дождь». Это предложение утверждает нечто о мире, и мир определяет, верно ли утверждение. Открытый учебник forall x определяет предложение в логическом смысле как предложение, которое может быть истинным или ложным. На уроках математики и во многих учебниках это называют высказыванием или суждением. Истинность или ложность называется значением истинности высказывания, поэтому у каждого высказывания ровно одно из двух значений истинности.

Для высказывания не обязательно знать, истинно ли оно. «Число песчинок на пляже Хэундэ чётно» является высказыванием: оно либо истинно, либо ложно, даже если никто никогда их не пересчитает. «На планете другой звезды есть жизнь» тоже высказывание. Логику интересует наличие значения истинности, а выяснение самого значения она оставляет науке, истории или обычной проверке.

Мнения, неопределённые слова и предложения с переменными

Здесь две традиции расходятся. forall x предостерегает: не путай возможность предложения быть истинным или ложным с различием между фактом и мнением. «Кимчхи-ччигэ самая вкусная еда» всё ещё считается предложением, которое может служить посылкой. Школьная математика в Корее строже. Её учебники называют высказыванием только то, для чего каждый может однозначно установить истинность, поэтому оценки вроде «самая вкусная еда» или «красивая песня» исключаются. В этом курсе мы следуем учебнику логики, но на школьной проверочной следуй более строгому правилу.

Сходная проблема возникает с расплывчатыми словами. «Минхо высокий» не имеет определённого значения истинности, пока мы не договоримся, что считать высоким. Предложение с переменной, например «x + 2 = 5», истинно при x, равном 3, и ложно иначе, поэтому само по себе ещё не является высказыванием. Корейские учебники называют такое предложение условием. Местоимения ведут себя так же: «Она родилась в 2009 году» становится высказыванием лишь тогда, когда известно, о ком речь.

Отрицание: меняем истинность

Для любого высказывания p его отрицание, обозначаемое ¬p и читаемое «не p», истинно ровно тогда, когда p ложно. Отрицание «Магазин открыт» имеет вид «Магазин не открыт». Пока всё просто. Ловушка возникает со словами «все» и «некоторые». Отрицание «Все автобусы опаздывают» не имеет вида «Все автобусы не опаздывают». Оно имеет вид «Не все автобусы опаздывают», то есть хотя бы один автобус идёт вовремя. Проверяя отрицание, спроси: должно ли в любой ситуации быть истинным ровно одно из этих двух высказываний? Если оба могут одновременно быть ложными, ты записал противоположность, а не отрицание.

Высказывания вроде «Магазин открыт» называются простыми, или атомарными. Слова «и», «или», «не», «если … то» соединяют простые высказывания в составные, а значение истинности составного высказывания зависит только от значений его частей. Следующие уроки разбирают эти связки по одной.