Proposizioni e valori di verità

«Chiudi la porta» si può eseguire o ignorare, ma non può essere vero o falso. «La porta è chiusa» sì: la logica comincia proprio da questa differenza.

Frasi che possono essere vere o false

La logica studia i ragionamenti: una serie di frasi chiamate premesse, seguite da una frase chiamata conclusione che dovrebbe derivare da esse. Non ogni frase può occupare uno di questi posti. Una domanda come «Piove?» chiede informazioni. Un ordine come «Porta un ombrello» dice a qualcuno cosa fare. Un'esclamazione come «Ahi!» esprime dolore. Nessuna di queste afferma che qualcosa sia così: perciò nessuna può essere corretta o sbagliata nel modo in cui può esserlo un'affermazione.

Confronta «In questo momento piove a Busan». Questa frase afferma qualcosa sul mondo, ed è il mondo a stabilire se sia giusta. Il manuale aperto forall x definisce un enunciato, in senso logico, come una frase che può essere vera o falsa. Nelle lezioni di matematica e in molti manuali si parla anche di proposizione. L'essere vera o falsa è il valore di verità della proposizione: ogni proposizione ha dunque esattamente uno di due valori di verità.

Non occorre conoscere la verità di una proposizione. «Il numero di granelli di sabbia sulla spiaggia di Haeundae è pari» è una proposizione: è vera o falsa, anche se nessuno li conterà mai. Anche «Esiste vita su un pianeta di un'altra stella» è una proposizione. Alla logica interessa se una frase ha un valore di verità; scoprire quale sia spetta alla scienza, alla storia o a una semplice verifica.

Opinioni, parole vaghe ed enunciati aperti

Qui due tradizioni si separano. forall x avverte di non confondere l'idea di una frase che può essere vera o falsa con la distinzione fra fatto e opinione: «Lo stufato di kimchi è il cibo migliore» conta comunque come enunciato che può fungere da premessa. La matematica scolastica coreana è più rigorosa. I suoi manuali parlano di proposizione solo quando chiunque può stabilire chiaramente se sia vera: escludono quindi giudizi di valore come «il cibo migliore» o «una bella canzone». In questo corso seguiamo il manuale di logica, ma in una verifica scolastica dovresti seguire la regola più restrittiva.

Le parole vaghe creano un problema simile. «Minho è alto» non ha un valore di verità fissato finché non concordiamo che cosa significhi alto. Una frase con una variabile, come «x + 2 = 5», è vera quando x è 3 e falsa altrimenti: da sola non è ancora una proposizione. I manuali coreani chiamano una frase del genere condizione. I pronomi si comportano allo stesso modo: «Lei è nata nel 2009» diventa una proposizione solo quando sappiamo chi è lei.

Negazione: rovesciare una proposizione

Per ogni proposizione p, la negazione, scritta ¬p e letta «non p», è vera esattamente quando p è falsa. La negazione di «Il negozio è aperto» è «Il negozio non è aperto». Fin qui è facile. La trappola sta nelle parole tutti e alcuni. La negazione di «Tutti gli autobus sono in ritardo» non è «Tutti gli autobus non sono in ritardo». È «Non tutti gli autobus sono in ritardo», cioè almeno un autobus è puntuale. Per controllare una negazione, chiediti se in ogni situazione debba essere vera esattamente una delle due frasi. Se possono essere entrambe false, hai scritto un contrario, non una negazione.

Proposizioni come «Il negozio è aperto» si chiamano semplici o atomiche. Parole come e, o, non e se ... allora collegano proposizioni semplici in proposizioni composte, il cui valore di verità dipende soltanto dai valori di verità delle parti. Le prossime unità esaminano questi connettivi uno alla volta.