Aussagen und Wahrheitswerte

„Schließ die Tür“ kann man befolgen oder ignorieren. Wahr oder falsch kann es nicht sein. „Die Tür ist geschlossen“ dagegen schon. Mit diesem Unterschied beginnt die Logik.

Sätze, die wahr oder falsch sein können

Die Logik untersucht Argumente: eine Reihe von Sätzen, die Prämissen heißen, und einen weiteren Satz, die Konklusion, der daraus folgen soll. Nicht jeder Satz kann eine dieser Rollen übernehmen. Eine Frage wie „Regnet es?“ verlangt eine Auskunft. Ein Befehl wie „Nimm einen Schirm mit“ fordert zu einer Handlung auf. Ein Ausruf wie „Aua!“ drückt Schmerz aus. Keiner dieser Sätze behauptet einen Sachverhalt. Deshalb kann keiner auf dieselbe Weise zutreffen oder falsch sein wie eine Behauptung.

Vergleiche damit „In Busan regnet es gerade“. Dieser Satz behauptet etwas über die Welt, und die Welt entscheidet, ob es stimmt. Das frei verfügbare Lehrbuch forall x definiert einen Satz im logischen Sinn als einen Satz, der wahr oder falsch sein kann. Im Mathematikunterricht und in vielen Lehrbüchern heißt das Aussage oder Proposition. Ob eine Aussage wahr oder falsch ist, nennt man ihren Wahrheitswert. Jede Aussage hat also genau einen von zwei Wahrheitswerten.

Wir müssen den Wahrheitswert einer Aussage nicht kennen. „Die Anzahl der Sandkörner am Strand von Haeundae ist gerade“ ist eine Aussage: Sie ist entweder wahr oder falsch, auch wenn niemand je nachzählen wird. „Auf einem Planeten eines anderen Sterns gibt es Leben“ ist ebenfalls eine Aussage. Die Logik fragt, ob ein Satz einen Wahrheitswert hat. Welcher es ist, ermitteln Wissenschaft, Geschichtsforschung oder einfaches Nachprüfen.

Meinungen, unbestimmte Begriffe und offene Sätze

Hier unterscheiden sich zwei Traditionen. forall x warnt davor, wahrheitsfähige Sätze mit der Unterscheidung zwischen Tatsache und Meinung zu verwechseln: Auch „Kimchi-Eintopf ist das beste Essen“ zählt als Satz, der als Prämisse dienen kann. Der koreanische Mathematikunterricht ist strenger. Dort gilt nur als Proposition, was jeder eindeutig als wahr oder falsch beurteilen kann. Werturteile wie „das beste Essen“ oder „ein schönes Lied“ bleiben deshalb außen vor. In diesem Kurs folgen wir dem Logiklehrbuch. Bei einer Schulprüfung solltest du aber die strengere Regel beachten.

Unbestimmte Begriffe führen zu einem ähnlichen Problem. „Minho ist groß“ hat keinen festen Wahrheitswert, solange nicht klar ist, was als groß gilt. Ein Satz mit einer Variablen wie „x + 2 = 5“ ist für x gleich 3 wahr und sonst falsch. Für sich allein ist er daher noch keine Aussage. Koreanische Lehrbücher nennen einen solchen Satz eine Bedingung. Mit Pronomen ist es ähnlich: „Sie wurde 2009 geboren“ wird erst zur Aussage, wenn klar ist, wer gemeint ist.

Negation: eine Aussage verneinen

Für jede Aussage p gilt: Ihre Negation ¬p, gelesen „nicht p“, ist genau dann wahr, wenn p falsch ist. Die Negation von „Der Laden ist geöffnet“ lautet „Der Laden ist nicht geöffnet“. So weit ist es einfach. Aufpassen musst du bei Wörtern wie alle und einige. Die Negation von „Alle Busse haben Verspätung“ ist nicht „Alle Busse haben keine Verspätung“, sondern „Nicht alle Busse haben Verspätung“. Mindestens ein Bus ist also pünktlich. Frage zur Kontrolle, ob in jeder Situation genau einer der beiden Sätze wahr sein muss. Können beide zugleich falsch sein, hast du ein Gegenteil formuliert, aber keine Negation.

Aussagen wie „Der Laden ist geöffnet“ heißen einfach oder atomar. Wörter wie und, oder, nicht und wenn … dann verbinden einfache Aussagen zu zusammengesetzten. Deren Wahrheitswert hängt nur von den Wahrheitswerten ihrer Teile ab. In den nächsten Einheiten untersuchen wir diese Verknüpfungen einzeln.