Und, oder, nicht

Auf einer Speisekarte bedeutet „Suppe oder Salat“ meist eines von beidem. In der Logik bleibt „p oder q“ auch dann wahr, wenn beide wahr sind. Diese eine Regel klärt die meisten Streitfragen zum Wort oder.

Und: Beide Teile müssen zutreffen

Nimm zwei Aussagen: p: „Der Laden verkauft Brot“ und q: „Der Laden verkauft Milch“. Die Konjunktion p ∧ q, gelesen „p und q“, behauptet beides zugleich. Sie ist nur dann wahr, wenn sowohl p als auch q wahr sind. Hat der Laden Brot, aber keine Milch, ist „Der Laden verkauft Brot und Milch“ falsch. Die Hälfte des Behaupteten fehlt. Bei zwei Aussagen gibt es vier mögliche Situationen (TT, TF, FT, FF). Eine Konjunktion ist in genau einer davon wahr.

Im Englischen und Koreanischen erfüllen viele Wörter dieselbe logische Aufgabe wie und. „Die Wohnung ist klein, aber hell“ behauptet sowohl, dass sie klein ist, als auch, dass sie hell ist. Aber fügt einen Gegensatz hinzu. Deshalb behandelt forall x es als Konjunktion. Obwohl, dennoch, auch und während im Sinne eines Gegensatzes funktionieren meist ähnlich. Die Logik behält die Wahrheitsbedingungen und lässt den Tonfall weg.

Oder: Mindestens ein Teil trifft zu

Die Disjunktion p ∨ q, gelesen „p oder q“, ist wahr, wenn mindestens eine der Aussagen p und q wahr ist. Nur wenn beide falsch sind, ist sie falsch. Das heißt einschließendes Oder, und das Zeichen ∨ hat immer diese Bedeutung. Angenommen, eine Stellenanzeige verlangt: „Bewerber müssen Japanisch oder Chinesisch sprechen.“ Wer beides spricht, wird deshalb selbstverständlich nicht abgewiesen. Hier gilt die einschließende Lesart.

Manchmal meinen wir „eines oder das andere, aber nicht beides“. Bei einem Mittagsmenü mit „Kaffee oder Tee“ bekommst du selten beides. Das ist das ausschließende Oder. In forall x hat es kein eigenes Grundzeichen. Du setzt es aus anderen zusammen: (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q), also mindestens eines und nicht beides. Bei mehrdeutigen Sätzen fragst du am besten, welche Lesart gemeint ist. Ist es die ausschließende, schreibst du sie vollständig auf.

Nicht und die De-Morgan-Regeln

Eine Negation kehrt einen Wahrheitswert um. Interessant wird es, wenn du eine ganze Konjunktion oder Disjunktion verneinst. „Es stimmt nicht, dass die Wohnung günstig und in Bahnhofsnähe ist“ ist wahr, sobald mindestens ein Teil nicht zutrifft: Die Wohnung ist nicht günstig oder nicht in Bahnhofsnähe oder beides. Symbolisch hat ¬(p ∧ q) in jeder Zeile denselben Wahrheitswert wie ¬p ∨ ¬q. Ebenso bedeutet „Es stimmt nicht, dass du bar oder mit Karte zahlen kannst“, dass beides nicht geht: ¬(p ∨ q) entspricht ¬p ∧ ¬q. Diese beiden Äquivalenzen heißen De-Morgan-Regeln, nach dem Logiker Augustus De Morgan aus dem neunzehnten Jahrhundert.

Ein häufiger Fehler: Man zieht das nicht in die Klammer, vergisst aber, die Verknüpfung zu wechseln. „Nicht (günstig und nah)“ bedeutet nicht „nicht günstig und nicht nah“. Bei einer günstigen Wohnung weit vom Bahnhof ist der erste Satz wahr und der zweite falsch. Wird eine Negation in die Klammer gezogen, wird und zu oder und oder zu und.

Klammern sind aus demselben Grund wichtig wie beim Rechnen. ¬p ∧ q bedeutet „nicht p, und q“, während ¬(p ∧ q) „nicht beides“ bedeutet. Im ersten Ausdruck betrifft das nicht nur p. Entscheide beim Übersetzen eines Alltagssatzes zuerst, auf welche Wörter sich die Verneinung bezieht, und setze dann die Klammern.