かつ、または、否定

メニューの「スープまたはサラダ」は普通、どちらか一方を意味します。論理学ではpとqの両方が真でも「pまたはq」は真です。この1つの規則で、「または」をめぐる疑問の大半が解決します。

かつ：両方が成り立つ

pを「店はパンを売っている」、qを「店は牛乳を売っている」とします。連言p ∧ qは「pかつq」と読み、両方を同時に主張します。pとqがともに真のときだけ真です。パンがあっても牛乳がなければ、「店はパンと牛乳を売っている」は偽です。述べた内容の半分が成り立たないからです。2つの命題には4通りの組合せ（TT、TF、FT、FF）があり、連言が真になるのはそのうち1通りだけです。

英語や韓国語にも「かつ」と同じ論理的役割を持つ言葉がいくつもあります。「部屋は狭いが明るい」は、狭いことと明るいことの両方を主張します。「が」は対比の感じを添えますが、『forall x』ではこの文を連言として扱います。「けれども」「それでも」「さらに」や対比を表す「一方で」も、通常は同じように働きます。論理学は真となる条件を残し、語調の違いは取り除きます。

または：少なくとも一方が成り立つ

選言p ∨ qは「pまたはq」と読み、pとqの少なくとも一方が真なら真になります。両方が偽のときだけ偽です。これは包含的選言と呼ばれ、記号∨は常にこの意味です。求人広告に「日本語または中国語を話せること」とあれば、両方を話せる人が断られることはありません。これが包含的な読み方です。

「どちらか一方で、両方ではない」という意味で使うこともあります。「コーヒーまたは紅茶」付きのランチでは、普通は両方を選べません。これが排他的選言です。『forall x』では独立した基本記号を使わず、(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)と表します。少なくとも一方が成り立ち、両方は成り立たないという意味です。曖昧な文では、話し手がどちらを意図したか確認し、排他的な意味なら式を省略せず書くのが確実です。

否定とド・モルガンの法則

否定は1つの真理値を反転します。では、連言や選言全体を否定するとどうなるでしょうか。「部屋が安くて駅に近い、というわけではない」は、安くないか、駅に近くないか、または両方の場合に真です。記号では¬(p ∧ q)と¬p ∨ ¬qはすべての行で同じ真理値になります。同様に「現金またはカードで支払える、というわけではない」は、どちらでも支払えないという意味で、¬(p ∨ q)と¬p ∧ ¬qが対応します。この2つの同値関係は、19世紀の論理学者オーガスタス・ド・モルガンにちなみ、ド・モルガンの法則と呼ばれます。

よくある間違いは、否定を括弧の中に入れるときに接続記号を変え忘れることです。「安くて近い、ではない」は「安くなくて、近くない」ではありません。安いけれど駅から遠い部屋なら、最初の文は真、次の文は偽です。否定を括弧の中に移すときは、必ず「かつ」を「または」に、「または」を「かつ」に変えます。

括弧は算数と同じように重要です。¬p ∧ qは「pではなく、かつq」、¬(p ∧ q)は「両方が成り立つわけではない」です。最初の式で否定されるのはpだけです。普通の文を式にするときは、まず否定の及ぶ範囲を決めてから括弧を置きましょう。