그리고, 또는, 아니다

식당 메뉴의 「수프 또는 샐러드」는 보통 둘 중 하나라는 뜻입니다. 논리에서 「p 또는 q」는 둘 다 참이어도 참이고, 이 규칙 하나로 「또는」을 둘러싼 다툼 대부분이 정리됩니다.

그리고: 두 부분이 모두 맞아야 합니다

두 명제 p: 「가게에서 빵을 판다.」와 q: 「가게에서 우유를 판다.」를 생각해 봅시다. 두 명제를 「그리고」로 이은 연언 p ∧ q는 「p 그리고 q」라고 읽고, 두 가지를 한꺼번에 주장합니다. 이 문장이 참이 되는 상황은 단 하나뿐입니다. 바로 p와 q가 모두 참일 때입니다. 예를 들어 가게에 빵은 있는데 우유가 없다면 「가게에서 빵과 우유를 판다.」는 거짓입니다. 그 문장이 약속한 것의 절반이 빠져 있기 때문입니다. 명제가 둘이면 가능한 상황은 TT, TF, FT, FF 네 가지입니다. 연언은 그 네 가지 가운데 딱 하나에서만 참이 됩니다.

한국어와 영어에는 「그리고」와 똑같은 논리적 역할을 하는 말이 여럿 있습니다. 「그 집은 좁지만 밝다.」는 집이 좁다는 것과 밝다는 것을 함께 주장합니다. 여기서 「~지만」은 서로 대조된다는 느낌을 더할 뿐입니다. 그래서 forall x 도 이런 말을 연언으로 다룹니다. 「~인데도」, 「또한」, 「~면서」도 대개 같은 방식으로 쓰입니다. 논리는 문장이 참이 되는 조건만 남기고, 그 말에 실린 말투는 버립니다.

또는: 적어도 한 부분이 맞으면 됩니다

선언 p ∨ q는 「p 또는 q」라고 읽고, p와 q 가운데 적어도 하나가 참이면 참입니다. 이 문장이 거짓인 경우는 p와 q가 둘 다 거짓일 때뿐입니다. 이것을 포함적 「또는」이라고 하며, 기호 ∨는 언제나 이 뜻으로만 씁니다. 예를 들어 어느 채용 공고에 「일본어 또는 중국어 가능자」라고 적혀 있다고 합시다. 이때 두 언어를 다 할 줄 아는 사람이 그 이유로 떨어질 리는 없습니다. 포함적 「또는」이 바로 이렇게 읽는 방식입니다.

그런데 우리가 실제로 「둘 중 하나만, 둘 다는 안 됨」을 뜻할 때도 있습니다. 점심 세트 메뉴에 적힌 「커피 또는 차」는 두 가지를 다 주는 경우가 드뭅니다. 이런 「또는」을 배타적 「또는」이라고 합니다. forall x 의 논리에는 이를 위한 기본 기호가 따로 없습니다. 대신 다른 기호로 (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)라고 만들어 씁니다. 「적어도 하나, 그리고 둘 다는 아님」이라는 뜻입니다. 문장이 애매할 때 가장 안전한 습관은, 말한 사람이 둘 가운데 어느 쪽을 뜻하는지 먼저 묻는 것입니다. 그리고 배타적인 뜻이라면 위처럼 끝까지 풀어서 적습니다.

아니다, 그리고 드모르간의 법칙

부정은 진릿값 하나를 참에서 거짓으로, 또는 거짓에서 참으로 뒤집습니다. 흥미로운 것은 연언이나 선언 전체를 부정할 때 무슨 일이 생기는가입니다. 「그 집이 싸고 역에서 가깝다는 것은 사실이 아니다.」는 적어도 한 부분이 틀리면 참입니다. 다시 말해 집이 싸지 않거나, 역에서 가깝지 않거나, 아니면 둘 다인 경우입니다. 이것을 기호로 쓰면, ¬(p ∧ q)는 진리표의 모든 줄에서 ¬p ∨ ¬q와 진릿값이 같습니다. 같은 식으로 「현금이나 카드로 낼 수 있다는 것은 사실이 아니다.」는 둘 다 안 된다는 뜻이어서 ¬(p ∨ q)는 ¬p ∧ ¬q와 같습니다. 이 두 동치를 19세기 논리학자 오거스터스 드모르간의 이름을 따서 드모르간의 법칙이라고 부릅니다.

여기서 흔히 하는 실수는 「아니다」를 괄호 안으로 밀어 넣으면서 연결어를 바꾸는 것을 잊는 것입니다. 「(싸고 가깝다)가 아니다」는 「싸지 않고 가깝지 않다」가 아닙니다. 예를 들어 값은 싸지만 역에서 먼 집이 있다면, 그 집에 대해 앞 문장은 참이고 뒤 문장은 거짓입니다. 그러니 「아니다」가 괄호 안으로 들어갈 때마다 「그리고」는 「또는」으로, 「또는」은 「그리고」로 바뀝니다.

논리에서 괄호가 중요한 이유는 산수에서 괄호가 중요한 이유와 같습니다. ¬p ∧ q는 「p가 아니고, q이다」라는 뜻이고, ¬(p ∧ q)는 「둘 다인 것은 아니다」라는 뜻입니다. 앞의 식에서 「아니다」는 p 하나에만 걸립니다. 일상 문장을 기호로 옮길 때는 그 「아니다」가 어떤 낱말들까지 덮으려는 것인지 먼저 정하고, 그다음에 괄호를 칩니다.