명제와 참거짓

「문 닫아.」는 따르거나 무시할 수는 있어도 참이나 거짓이 될 수는 없습니다. 「문이 닫혀 있다.」는 참이나 거짓이 될 수 있고, 논리는 이 차이에서 시작합니다.

참이나 거짓이 될 수 있는 문장

논리라는 학문이 다루는 것은 논증입니다. 논증은 전제라고 부르는 문장 몇 개를 늘어놓고, 그 뒤에 그 전제에서 따라 나온다고 내세우는 결론 문장을 붙인 것입니다. 그런데 모든 문장이 전제나 결론 자리에 들어갈 수 있는 것은 아닙니다. 예를 들어 「비가 와?」 같은 질문은 정보를 달라고 묻는 말입니다. 「우산 가져가.」 같은 명령은 누군가에게 할 일을 시키는 말입니다. 「아야!」 같은 외침은 아픔을 드러내는 말입니다. 이 셋은 어느 것도 무엇이 어떻다고 주장하지 않습니다. 그래서 주장이 맞거나 틀리는 것과 같은 방식으로 맞거나 틀릴 수가 없습니다.

이번에는 「지금 부산에 비가 온다.」와 비교해 보면 차이가 보입니다. 이 문장은 세상이 어떻다고 주장을 하고, 그 주장이 맞는지 틀리는지는 세상이 실제로 어떤지가 정합니다. 공개 교재(open textbook)인 forall x 는, 논리에서 말하는 뜻의 문장을 「참이거나 거짓일 수 있는 문장」으로 정의합니다. 수학 수업과 여러 교과서에서는 같은 것을 명제라고 부르며, 우리 수학 교과서도 이 이름을 씁니다. 참이라는 것과 거짓이라는 것, 이 둘을 그 명제의 진릿값이라고 합니다. 그러므로 모든 명제는 두 진릿값 가운데 꼭 하나를 가집니다.

어떤 문장이 명제라고 해서 그 문장이 참인지 거짓인지를 우리가 이미 알고 있어야 하는 것은 아닙니다. 예를 들어 「해운대 백사장의 모래알 수는 짝수다.」는 명제입니다. 아무도 그 모래알을 다 세어 보지는 않겠지만, 이 문장은 참이거나 거짓이거나 둘 중 하나이기 때문입니다. 「다른 별의 행성에 생명이 있다.」도 마찬가지로 명제입니다. 지금은 아무도 답을 모르지만 그렇습니다. 논리가 관심을 두는 것은 문장에 진릿값이 있는지 없는지입니다. 그 값이 참인지 거짓인지 알아내는 일은 과학이나 역사, 또는 그냥 직접 확인해 보는 일에 맡깁니다.

의견, 흐릿한 말, 변수가 있는 문장

여기서 두 전통의 길이 갈립니다. forall x 는 독자에게 「참이거나 거짓일 수 있는 문장」이라는 생각을 사실과 의견의 구별과 헷갈리지 말라고 일러 둡니다. 그래서 「김치찌개가 가장 맛있는 음식이다.」 같은 문장도 여전히 전제로 쓸 수 있는 문장, 다시 말해 참이거나 거짓일 수 있는 문장으로 칩니다. 반면 우리나라 학교 수학은 더 엄격합니다. 우리 교과서는 누구나 참인지 거짓인지 분명하게 판단할 수 있는 문장이나 식만 명제라고 부릅니다. 그러므로 「가장 맛있다」나 「아름다운 노래」처럼 사람마다 다르게 판단할 수 있는 가치 판단은 명제에서 빠집니다. 이 과정에서는 논리 교재의 기준을 따릅니다. 하지만 학교 시험을 볼 때에는 더 엄격한 규칙을 따라야 합니다.

뜻이 흐릿한 말도 이와 비슷한 문제를 만듭니다. 「민호는 키가 크다.」는 어느 정도부터 키가 크다고 할지 서로 정하기 전에는 진릿값이 정해지지 않습니다. 또 「x + 2 = 5」처럼 변수가 들어 있는 문장은 x가 3이면 참이고 다른 값이면 거짓이므로, 그것만으로는 아직 명제가 아닙니다. 우리 교과서에서는 이렇게 변수의 값에 따라 참거짓이 달라지는 문장을 조건이라고 부릅니다. 대명사도 같은 방식으로 움직입니다. 「그녀는 2009년에 태어났다.」는 여기서 그녀가 누구를 가리키는지 알게 된 다음에야 명제가 됩니다.

부정: 명제를 뒤집기

어떤 명제 p가 있을 때, p의 부정은 ¬p로 쓰고 「p가 아니다」라고 읽습니다. ¬p는 p가 거짓일 때, 그리고 그때만 참이 됩니다. 예를 들어 「가게가 열려 있다.」의 부정은 「가게가 열려 있지 않다.」입니다. 여기까지는 쉽습니다. 함정은 「모든」, 「어떤」처럼 개수를 말하는 낱말에 있습니다. 「모든 버스가 늦는다.」의 부정은 「모든 버스가 늦지 않는다.」가 아닙니다. 올바른 부정은 「모든 버스가 늦는 것은 아니다.」이고, 이는 제시간에 온 버스가 적어도 한 대 있다는 뜻입니다. 내가 쓴 부정이 맞는지 확인하려면, 어떤 상황에서든 두 문장 가운데 꼭 하나만 참이 되어야 하는지 따져 보면 됩니다. 만약 두 문장이 함께 거짓일 수 있다면, 그것은 부정이 아니라 반대말을 쓴 것입니다.

「가게가 열려 있다.」처럼 더 쪼갤 수 없는 명제를 단순 명제(원자 명제)라고 합니다. 「그리고」, 「또는」, 「아니다」, 「만약 ~이면」 같은 말은 단순 명제를 이어 합성 명제를 만들고, 합성 명제의 진릿값은 오직 그 부분들의 진릿값만으로 정해집니다. 다음 단원부터는 이렇게 명제를 이어 주는 말들을 하나씩 차례로 다룹니다.