Proposições e valores lógicos

“Feche a porta” pode ser obedecido ou ignorado, mas não pode ser verdadeiro nem falso. “A porta está fechada” pode. É nessa diferença entre as duas frases que a lógica começa.

Frases que podem ser verdadeiras ou falsas

A lógica estuda argumentos: uma lista de frases chamadas premissas, seguida de uma frase chamada conclusão, que deveria decorrer delas. Nem toda frase pode ocupar essas posições. Uma pergunta como “Está chovendo?” pede informação. Uma ordem como “Leve um guarda-chuva” diz a alguém o que fazer. Um grito como “Ai!” expressa dor. Nenhuma dessas frases afirma que algo acontece, por isso não pode estar certa ou errada como uma afirmação.

Compare com “Está chovendo em Busan agora”. Essa frase faz uma afirmação sobre o mundo, e é o mundo que determina se ela está certa. O livro aberto forall x define uma sentença, no sentido lógico, como uma frase que pode ser verdadeira ou falsa. Nas aulas de matemática e em muitos livros, isso é chamado de proposição. Ser verdadeira ou ser falsa é o valor lógico da proposição; assim, toda proposição tem exatamente um de dois valores lógicos.

Não precisamos conhecer a verdade de uma proposição. “O número de grãos de areia na praia de Haeundae é par” é uma proposição: é verdadeira ou falsa, embora ninguém vá contar os grãos. “Existe vida em um planeta de outra estrela” também é uma proposição. A lógica se ocupa de saber se a frase tem valor lógico e deixa para a ciência, a história ou uma simples verificação a tarefa de descobrir qual é esse valor.

Opiniões, palavras vagas e sentenças abertas

Aqui, duas tradições seguem caminhos diferentes. O forall x alerta para não confundir a ideia de uma frase que pode ser verdadeira ou falsa com a distinção entre fato e opinião: “Ensopado de kimchi é a melhor comida” ainda conta como uma frase que pode servir de premissa. A matemática escolar coreana é mais rigorosa. Seus livros só chamam algo de proposição quando qualquer pessoa pode decidir claramente se é verdadeiro; por isso, juízos de valor como “a melhor comida” ou “uma música bonita” ficam de fora. Neste curso, seguimos o livro de lógica, mas, em uma prova escolar, você deve seguir a regra mais rigorosa.

Palavras vagas causam um problema parecido. “Minho é alto” não tem valor lógico fixo até combinarmos o que conta como alto. Uma frase com variável, como “x + 2 = 5”, é verdadeira quando x é 3 e falsa nos demais casos; sozinha, portanto, ainda não é uma proposição. Os livros coreanos chamam esse tipo de frase de condição. Os pronomes se comportam da mesma forma: “Ela nasceu em 2009” só vira uma proposição quando sabemos quem é ela.

Negação: invertendo uma proposição

Para qualquer proposição p, sua negação, escrita ¬p e lida “não p”, é verdadeira exatamente quando p é falsa. A negação de “A loja está aberta” é “A loja não está aberta”. Até aí, tudo simples. A armadilha aparece com palavras como todos e alguns. A negação de “Todos os ônibus estão atrasados” não é “Todos os ônibus não estão atrasados”. É “Nem todos os ônibus estão atrasados”, ou seja, pelo menos um está no horário. Para conferir uma negação, pergunte se exatamente uma das duas frases precisa ser verdadeira em qualquer situação. Se ambas puderem ser falsas juntas, você escreveu uma ideia oposta, não uma negação.

Proposições como “A loja está aberta” são chamadas de simples ou atômicas. Palavras como e, ou, não e se ... então ligam proposições simples e formam proposições compostas. O valor lógico de uma proposição composta depende apenas dos valores lógicos de suas partes. Nas próximas unidades, veremos esses conectivos um por um.